Exponente de Lyapunov

El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$ diverge

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|}$

El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema.

Definición

Para un sistema dinámico que evoluciona según la ecuación ${\displaystyle f^{t}}$ en un espacio de n–dimensiones, el espectro del exponente Lyapunov

${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}\,,}$

en general depende del punto de inicio ${\displaystyle x_{0}}$. El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase y son definidos por la matriz Jacobiana:

${\displaystyle J^{t}(x_{0})=\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}}$.

La matriz ${\displaystyle J^{t}}$ describe cómo un pequeño cambio en el punto ${\displaystyle x_{0}}$ se propaga hasta el punto final ${\displaystyle f^{t}(x_{0})}$. El límite

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }(J^{t}\cdot (J^{t})^{T})^{1/2t}}$

define a una matriz ${\displaystyle L(x_{0})}$ (las condiciones para la existencia del límite son dadas por el teorema de Oseldec). Si ${\displaystyle \Lambda _{i}(x_{0})}$ son los valores propios de ${\displaystyle L(x_{0})}$, entonces el exponente Lyapunov ${\displaystyle \lambda _{i}}$ está definido por

${\displaystyle \lambda _{i}(x_{0})=\log \Lambda _{i}(x_{0})\,.}$

Propiedades básicas

• Si el sistema es conservativo (no existe disipación), la suma de todos los exponentes Lyapunov debe ser cero.
• Si el sistema es disipativo, la suma será negativa.
• Si el sistema es un flujo, un exponente será siempre cero.
• En un sistema dinámico hamiltoniano, la suma sólo puede ser positiva si el sistema es un sistema abierto.

• El espectro de Lyapunov puede ser usado para estimar el radio de producción de entropía de un sistema dinámico.
• El inverso del mayor exponente Lyapunov es llamado a veces en literatura momento Lyapunov. Para órbitas caóticas, el momento Lyapunov será finito, aunque para órbitas regulares será infinito.

Cálculo numérico

Generalmente, el cálculo de los exponentes Lyapunov, como se define arriba, no puede ser llevado a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos uno debe recurrir a técnicas numéricas. Los procedimientos numéricos comúnmente usados estiman la matriz ${\displaystyle L}$ basándose en un rango finito de aproximaciones de tiempo del límite definiendo ${\displaystyle L}$.

Referencias