Forma modular

Definición Estándar

Una forma modular de peso k para el grupo modular

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

es una función  f  de valores complejos sobre el semiplano positivo H = {z ∈ C, Im(z) > 0}, que satisface las tres siguientes condiciones:

(1)  f  es una función holomorfa sobre H.

(2) Para cualquier z ∈ H y cualquier matriz en SL(2, Z) como la de arriba, se tiene:

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

(3)  f  se requiere que sea holomorfa cuando z → i∞.

Observaciones:

• El peso k es generalmente un entero positivo.
• Para impares k, únicamente la función nula puede satisfacer la segunda condición.
• La tercera condición también puede expresarse diciendo que  f  es «holomorfa en la cúspide».
• La segunda condición para

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

indica que

${\displaystyle f(-1/z)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

respectivamente. Puesto que S y T generan el grupo modular SL(2, Z), la segunda condición de arriba es equivalente a esas dos ecuaciones.

• Las formas modulares  f (z + 1) =  f (z) son funciones periódicas, con periodo 1, y por tanto tienen series de Fourier asociadas.

Como función en grillas

Una forma modular puede ser pensada como una función F del conjunto de grillas Λ en C al conjunto de los números complejos que satisface ciertas condiciones:

(1) Si se considera la grilla ${\displaystyle \Lambda =\langle \alpha ,z\rangle }$ generada por una α constante y una variable z, entonces F(Λ) es una función analítica de z.

(2) Si α es un número complejo no nulo y αΛ es la grilla obtenida al multiplicar cada elemento de Λ por α, entonces F(αΛ) = α^−kF(Λ) donde k es una constante (típicamente un entero positivo) llamado el peso de la forma.

(3) El valor absoluto de F(Λ) permanece acotado siempre y cuando el valor absoluto del menor elemento no nulo en Λ está acotado con respecto al cero.

Cuando k = 0, la condición 2 implica que F depende solo de la clase de similitud de la grilla. Este es un caso especial muy importante, pero las únicas formas modulares de peso 0 son las constantes. Si se elimina la condición 3 y se permite que la función tenga polos, entonces existen ejemplos con peso 0: ellas son denominadas funciones modulares.

Esta situación puede compararse en forma favorable con el caso que resulta cuando se realiza la búsqueda de funciones en el espacio proyectivo P(V): en este caso, uno idealmente desea encontrar funciones F en el espacio vectorial V que son polinomios en las coordenadas de v≠ 0 en V y satisfacen la ecuación F(cv) = F(v) para todos los valores c no nulos. Desafortunadamente, las únicas funciones de este tipo son constantes. Si se permite denominadores (funciones racionales en vez de polinomios), se puede permitir que F sea la relación entre dos polinomios homogéneos del mismo grado. En forma alternativa, podemos restringirnos a los polinomios y relajar la dependencia de c, permitiendo que F(cv) = c^kF(v). Las soluciones son por lo tanto polinomios homogéneos de grado k. Por una parte, ellos conforman un espacio vectorial de dimensión finita para cada k, y por otra parte, si se permite que el valor k varíe, es posible encontrar numeradores y denominadores para construir todas las funciones racionales que son realmente funciones del espacio proyectivo subyacente P(V).