Icosiano

En matemáticas, los icosianos son un conjunto específico de cuaterniones Hamiltonianos con la misma simetría que el hexacosicoron. El término puede ser utilizado para referirse a dos términos relacionados, pero distintos:

• El grupo icosiano: un grupo multiplicativo de 120 cuaterniones, posicionados en los vértices de un hexacosicoron de radio 1. Este grupo es isomórfico al grupo icosaédrico binario de orden 120.
• El anillo icosiano: todas las sumas finitas del icosiano de 120 unidades

Unidades

El icosiano de 120 unidades, el cual forma el grupo icosiano, son todas permutaciones pares de:

• 8 icosianos de la forma ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\pm 2,0,0,0)}$
• 16 icosianos de la forma ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$
• 96 icosianos de la forma ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(0,\pm 1,\pm \psi ,\pm \varphi )}$

En este caso, el vector ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ se refiere al cuaternión ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$, mientras que ${\displaystyle \psi }$ y ${\displaystyle \varphi }$ representan los números ${\displaystyle {\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}.}$ Estos 120 vectores forman el sistema de raíz H₄, con un grupo de Weyl de orden 14400. En adición a los icosianos de 120 unidades formando los vértices de un hexacosicoron, 600 icosianos de norma 2 forman los vértices hecatonicosacoron. Otros subgrupos de icosianos corresponden al teseracto, hexadecacoron y icositetracoron.

Anillo icosiano

Los icosianos se encuentran en el campo dorado, ${\displaystyle (a+b{\sqrt {5}})i}$, ${\displaystyle (a+b{\sqrt {5}})i+(c+d{\sqrt {5}})j+(e+f{\sqrt {5}})k+(g+h{\sqrt {5}}),}$ donde las ocho variables son racionales. Curiosamente, este cuaternión es sólo un icosiano si el vector ${\displaystyle (a,b,c,d,e,f,g,h)}$ es un punto en la red E⁸.

Referencias

• Conway, John; Sloane, Neil J. A. (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups (en inglés) (2da edición). Springer. ISBN 978-1-475-76568-7. 
• Conway, John; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). The Symmetries of Things. A K Peters/CRC Press. ISBN 978-1-568-81220-5. 
• Goucher, Adam P. (27 de septiembre de 2012). «Good fibrations» (en inglés). 
• Marcelis, Frans. «Icosians and ADE» (en inglés). Archivado desde el original el 7 de junio de 2011. Consultado el 15 de febrero de 2017.