Integral senoidal

La integral senoidal es la función definida mediante la integración de la función sinc (seno cardinal):

Si (x) = \int_{0}^{x} sinc (t) d t = \int_{0}^{x} \frac{sen (t)}{t} d t

Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Mediante una integración término a término, se ve que la integral senoidal puede expresarse como una serie:

Si (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) (2 n + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{3 \cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5 \cdot 5!} - \frac{x^{7}}{7 \cdot 7!} + \dots

Propiedades

Algunas propiedades de la integral senoidal son:

Al ser la integral de una función par, es una función impar, esto es, Si(-x) = -Si(x).
El valor de Si(x) cuando x tiende a infinito es el límite:

lim_{x \to \infty} Si (x) = \int_{0}^{\infty} \frac{sen (t)}{t} d t = \frac{π}{2}

Asimismo, el valor de Si(x) cuando x tiende a menos infinito es

- \frac{π}{2}

.

Funciones asociadas

Seno Integral

Las diferentes definiciones son:

S i (x) = \int_{0}^{x} \frac{sen t}{t} d t

s i (x) = - \int_{x}^{\infty} \frac{sen t}{t} d t

$S i (x)$ es la primitiva de $sen x / x$ que es cero para $x = 0$ ; $s i (x)$ es la primitiva de $sen x / x$ que es cero para $x = \infty$ . Se debe distinguir que $\frac{sen t}{t}$ es la Función sinc y también la función esférica de Bessel: $j_{n}, y_{n}$ de orden cero. Cuando $x = \infty$ , se conoce como la Integral de Dirichlet.