Intervalo (matemática)

Intervalos abiertos

Dados dos números reales ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, se define el conjunto ${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}}$ llamado intervalo abierto de extremo inferior ${\displaystyle a}$ y extremo superior ${\displaystyle b}$.

En palabras, el intervalo abierto ${\displaystyle (a,b)}$ es el conjunto de números reales comprendidos entre ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$. Es un intervalo de longitud finita.

Otras notaciones

${\displaystyle (a,b)\;;\quad \left]a,b\right[\;;\quad \langle a,b\rangle }$

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o ${\displaystyle \mathbb {R} }$) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto ${\displaystyle (a,b)}$ es igual a su interior, su frontera es el conjunto ${\displaystyle \{a,b\}}$ y su clausura es el intervalo cerrado ${\displaystyle [a,b]}$. Su exterior son las semirrectas ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ y ${\displaystyle [b,\infty )}$. No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.

Intervalos cerrados

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: ${\displaystyle I=[a,b]\ }$

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$

Intervalos semiabiertos

Incluye únicamente uno de los extremos.

• Con la notación ${\displaystyle (a,b]}$ o bien ${\displaystyle \left]a,b\right]}$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}$

• Y con la notación ${\displaystyle [a,b)}$ o bien ${\displaystyle \left[a,b\right[}$,

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud ${\displaystyle |b-a|}$. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc. Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es ${\displaystyle (a+b)/2}$, llamado punto medio, donde los extremos son ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ con ${\displaystyle a<b}$. En el caso ${\displaystyle a=b}$, no existe punto medio y el intervalo abierto es ${\displaystyle \varnothing }$.

Intervalos con infinito

Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

• Con la notación ${\displaystyle [a,\infty )}$ o ${\displaystyle \left[a,\infty \right[}$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\}}$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación ${\displaystyle (a,\infty )}$ o ${\displaystyle \left]a,\infty \right[}$,

${\displaystyle I=(a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :a<x\}}$

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

• Con la notación ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ o ${\displaystyle \left]-\infty ,a\right]}$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,a]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq a\}}$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ o ${\displaystyle \left]-\infty ,a\right[}$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,a)=\{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$

Para todo valor real:

• Y con la notación ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ o ${\displaystyle \left]-\infty ,\infty \right[}$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$

Familia de intervalos

• ${\displaystyle \left\{(1-{\tfrac {1}{n}},2+{\tfrac {1}{n}}):n\in \mathbb {Z} _{>0}\right\}}$ es una familia de intervalos abiertos.

• ${\displaystyle \left\{{[1,2+{\tfrac {1}{n}}]}:n\in \mathbb {Z} _{>0}\right\}}$ es una familia de intervalos cerrados.

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} :x<4\}=(-\infty ,4)}$

Esto se lee: ${\displaystyle A}$ es el conjunto de todos los números reales ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle x}$ es menor que cuatro.

Y el conjunto ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle B=\{x\in \mathbb {R} :9<x\}=(9,\infty )}$

${\displaystyle B}$ es el conjunto de todos los números reales ${\displaystyle x}$, tal que ${\displaystyle 9}$ es menor que ${\displaystyle x}$.

El conjunto unión de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ sería:

${\displaystyle A\cup B=(-\infty ,4)\cup (9,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :x<4\lor x>9\}}$

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos si y solo si está por lo menos en uno de ellos.

El conjunto intersección de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ es el vacío:

${\displaystyle A\cap B=(-\infty ,4)\cap (9,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :x<4\land 9<x\}}$

porque ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ no tienen puntos en común.

Se nota de la siguiente manera: ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$

Dados los conjuntos A y C:

${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} :x<4\}=(-\infty ,4)}$

${\displaystyle C=\{x\in \mathbb {R}$ :-3<x<15\}=(-3,15)}

El conjunto unión de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle C}$ es:

${\displaystyle A\cup C=\{x\in \mathbb {R} :x<15\}=(-\infty ,15)}$

El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos.

El conjunto intersección de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle C}$ es:

${\displaystyle A\cap C=\{x\in \mathbb {R}$ :-3<x<4\}=(-3,4)}

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Entorno simétrico

Un entorno simétrico o entorno de centro ${\displaystyle a}$ y radio ${\displaystyle r}$ se representa:

• Con la notación ${\displaystyle E(a,r)}$ indicamos

${\displaystyle E(a,r)=\{x\in \mathbb {R} \quad /\;r>0:a-r<x<a+r\}=(a-r,a+r)}$

Entorno reducido

Un entorno reducido de centro ${\displaystyle a}$ y radio ${\displaystyle r}$ se representa:

• Con la notación ${\displaystyle E^{*}(a,r)}$ indicamos

${\displaystyle E^{*}(a,r)=E(a,r)\setminus \{a\}}$

Un entorno reducido de un punto ${\displaystyle a}$ es un entorno de ${\displaystyle a}$, menos ${\displaystyle \{a\}}$. Por ejemplo, el intervalo ${\displaystyle (-1,1)=\{y\in \mathbb {R}$ :-1<y<1\}} es un entorno de ${\displaystyle a=0}$ en la recta real, entonces el conjunto ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ es un entorno reducido de ${\displaystyle 0}$ de radio 1.

Intervalo cerrado

El número real ${\displaystyle x}$ está en ${\displaystyle I=[a,b]\,}$ si sólo si ${\displaystyle a\leq x\leq b}$. Los puntos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son elementos del intervalo cerrado ${\displaystyle I}$; ${\displaystyle a}$ es el ínfimo y ${\displaystyle b}$ el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ con ${\displaystyle a\leq x\leq b}$. El intervalo abierto ${\displaystyle (a,b)}$ es el interior del intervalo cerrado de extremos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado ${\displaystyle I=[a,b]\,}$; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta .