Matriz definida positiva

En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo, también puede tratarse de una matriz simétrica real cuyos menores principales son positivos (Criterio de Sylvester).

Definiciones equivalentes

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector ${\displaystyle a}$ como ${\displaystyle a^{T}}$, y el conjugado transpuesto, ${\displaystyle a^{*}}$. Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

1.	Para todos los vectores no nulos ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ tenemos que ${\displaystyle {\textbf {z}}^{*}M{\textbf {z}}>0}$. Nótese que ${\displaystyle z^{*}Mz}$ es siempre real.
2.	Todos los autovalores ${\displaystyle \lambda _{i}}$ de ${\displaystyle M}$ son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.)
3.	La función ${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {y}}^{*}M{\textbf {x}}}$ define un producto interno ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
4.	Todos los menores principales de ${\displaystyle M}$ son positivos (Criterio de Sylvester). O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivos. la superior izquierda de M de dimensión 1x1 la superior izquierda de M de dimensión 2x2 la superior izquierda de M de dimensión 3x3 ... la superior izquierda de M de dimensión (n-1)x(n-1) ${\displaystyle M}$ en sí misma
	Para matrices semidefinidas positivas, todos los menores principales tienen que ser no negativos.

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

Propiedades

• Toda matriz definida positiva es invertible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.

• Si ${\displaystyle M}$ es una matriz definida positiva y ${\displaystyle r>0}$ es un número real, entonces ${\displaystyle rM}$ es definida positiva.

• Si ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle N}$ son matrices definidas positivas, entonces la suma ${\displaystyle M+N}$ también lo es. Además si ${\displaystyle MN=NM}$, entonces ${\displaystyle MN}$ es también definida positiva.

• Toda matriz definida positiva ${\displaystyle M}$, tiene una única matriz raíz cuadrada ${\displaystyle N}$ tal que ${\displaystyle N^{2}=M}$.

Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas

La matriz hermitiana ${\displaystyle M}$ se dice:

• definida negativa si ${\displaystyle x^{*}Mx<0\,}$ para todos los vectores ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (ó ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) no nulos

• definida positiva si ${\displaystyle x^{*}Mx>0\,}$ para todos los vectores ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (ó ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) no nulos

• semidefinida positiva si ${\displaystyle x^{*}Mx\geq 0}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) no nulo.

• semidefinida negativa si ${\displaystyle x^{*}Mx\leq 0}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) no nulo.

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Caso no hermitiano

Una matriz real ${\displaystyle M}$ puede tener la propiedad ${\displaystyle x^{T}Mx>0}$ para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}$

es un ejemplo. En general, tendremos ${\displaystyle x^{T}Mx>0}$ para todo vector real no nulo ${\displaystyle x}$ si la matriz simétrica ${\displaystyle (M+M^{T})/2}$ es definida positiva.

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Matriz definida positiva», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Weisstein, Eric W. «Positive Definite Matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.