Medida espectral

En matemáticas, en especial en análisis funcional una medida espectral es una aplicación cuyo dominio es una σ-álgebra y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert. Medidas espectrales se utilizan en la teoría espectral de operadores autoadjuntos.

Definición formal

Sean

• ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ un espacio medible, es decir ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle H\ }$ un espacio de Hilbert.
• ${\displaystyle \pi \ }$ una aplicación de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ al conjunto de proyecciones ortogonales de ${\displaystyle H}$.

${\displaystyle \pi \ }$ es una medida espectral si y solamente si

• ${\displaystyle \pi (X)=\operatorname {id} _{H}\quad }$
• Si ${\displaystyle \{E_{i}:i\in \mathbb {N} \}}$ es una sucesión de elementos de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ disjuntos entre sí, entonces las proyecciones ${\displaystyle \{\pi (E_{i}):i\in \mathbb {N} \}\quad }$

son ortogonales entre sí y

${\displaystyle \pi (\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i})=\sum _{i\in \mathbb {N} }\pi (E_{i})}$

donde la convergencia en el sumatorio es en el sentido de la convergencia fuerte de operadores: O sea que para todo vector ${\displaystyle x\in H}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi (E_{k})x=\pi (\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i})x}$

Referencias

• G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
• V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.