Menos uno

−1
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El menos uno (−1) es el número entero negativo mayor que el menos dos y menor que el cero. El número −1 es el inverso aditivo u opuesto de 1; es decir, el número que, sumado a 1, da como resultado el elemento neutro de la adición, el 0.

Propiedades matemáticas

Es el número opuesto de 1, es decir, el número que, cuando se le suma a 1, da 0.
Tiene algunas propiedades similares pero ligeramente diferentes a las propiedades positivas de (uno); sería un multiplicador de identidad si no fuera por el cambio de signo: (−1) · x = −x ; según la definición de que x⁻¹ = -x.
En los números imaginarios, el i^2 es igual a −1.
El número −1 está presente en la identidad de Euler: $e^{i\pi }=-1\,\!$ .
Es, en informática, un valor inicial para enteros en algunos lenguajes; también se utiliza para mostrar una variable que no contiene nada de informaciones útiles.

Propiedades algebraicas

Multiplicar un número por −1 es equivalente a cambiar el signo del número. O sea, para todo $x$ se tiene $(-1) \cdot x = - x$ . Lo cual se puede demostrar utilizando la propiedad distributiva y el axioma que 1 es el elemento neutro:

x + (-1) \cdot x = 1 \cdot x + (-1) \cdot x = (1 + (-1)) \cdot x = 0 \cdot x = 0

.

Donde se ha hecho uso de la propiedad de que todo número $x$ multiplicado por 0 es igual a 0, lo cual se deduce de la cancelación a partir de la ecuación

0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x

.

En otras palabras,

x + (-1) \cdot x = 0

,

por lo que $(-1) \cdot x$ es la inversa aditiva de $x$ , o sea $(-1) \cdot x = - x$ , como se demostró previamente.

Elevación al cuadrado de −1

El cuadrado de −1 (es decir, −1 por −1) es igual a 1. Por lo tanto, el producto de dos números negativos es positivo.

Para demostrar esto algebraicamente, se comienza con la ecuación:

0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]

La primera ecuación se deriva del resultado anterior. La segunda se deriva de la definición de −1 como el inverso aditivo de 1: es precisamente el número que da 0 al sumarse a 1. Aplicando la propiedad distributiva, vemos:

0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)

.

La segunda ecuación se deriva del hecho de que 1 es el elemento neutro de la multiplicación. Sumando 1 a ambos lados de la última ecuación se obtiene:

(-1)\cdot (-1)=1

.

Las consecuencias anteriores también se aplican a cualquier anillo que generalice el álgebra abstracta de números enteros y reales.

Raíz cuadrada de −1

El número complejo i satisface i² = −1 y, por lo tanto, se considera la raíz cuadrada de −1. El único otro número complejo x que satisface la ecuación x² = −1 es −i. En el álgebra de cuaterniones, que contiene el plano complejo, la ecuación x² = −1 tiene infinitas soluciones.

Inversa y elementos invertibles

La exponenciación de un número real distinto de cero se puede extender a números enteros negativos, donde elevar un número a la potencia −1 tiene el mismo efecto que obtener su inverso multiplicativo:

x -1 = 1 / x

.

Esta definición se aplica a los enteros negativos, preservando la ley exponencial $x a x b = x (a + b)$ para los números reales $a$ y $b$ .

Un −1 superíndice en $f -1 (x)$ representa la función inversa de $f (x)$ , donde $(f (x)) -1$ expresa específicamente un recíproco puntual. Donde $f$ es biyectiva especificando un codominio de llegada de todo $y \in Y$ para todo valor del dominio $x \in X$ , habrá

f -1 (f (x)) = x,

y

f -1 (f (y)) = y

.

Cuando un subconjunto del codominio se especifica dentro de la función $f$ , su inversa provee una imagen inversa, o preimagen, de ese subconjunto para la función.

Anillos

La exponenciación con enteros negativos se puede extender a elementos simétricos de un anillo definiendo $x -1$ como el inverso multiplicativo de $x$ ; en este contexto, estos elementos son considerados unidades.^: p.49

En un dominio polinómico $F [x]$ sobre todo campo $F$ , el polinomio $x$ has no inverse. Si tuviera un simétrico $q (x)$ , entonces habría

x q (x) = 1 \Rightarrow deg (x) + deg (q (x)) = deg (1)

\Rightarrow 1 + deg (q (x)) = 0

\Rightarrow deg (q (x)) = -1

lo cual no es posible, y por lo tanto, $F [x]$ no es un campo. En forma más específica, porque el polinomio no es continuo, no es una unidad en $F$ .

Potenciación de enteros negativos

La potenciación de un número real distinto de cero se puede extender a los enteros negativos. Se define que $x -1 = 1 / x$ , significando que un número elevado a la potencia −1 tiene el mismo efecto que obtener su recíproco. Esta definición es luego extendida a los enteros negativos, preservando la ley de potencia $x a x b = x (a + b)$ para números reales $a$ y $b$ .

La potenciación a enteros negativos puede ser extendida a elementos no invertibles de un anillo, si se define $x -1$ como la inversa multiplicativa de $x$ .

Un −1 que se presenta como un sobreíndice de una función no significa que se debe tomar la recíproca puntual de la función, sino la función inversa de la función. Por ejemplo, $sin -1 (x)$ es una notación para la función arcoseno, y en general $f -1 (x)$ representa la función inversa de $f (x)$ ,. Cuando un subconjunto del codominio es especificado en la función, el mismo representa la preimagen del subconjunto para esa función.

Representación binaria en la computadora

Hay varias representaciones diferentes de −1 y enteros negativos en general en los sistemas informáticos. El más utilizado es el complemento a dos de su forma positiva. Menos uno tiene la misma representación en complemento a dos que el entero positivo 2 n − 1, donde n es el número de dígitos binarios en la representación (el número de bits en el tipo de datos). Por ejemplo, 11111111₂ ( binario ) o FF ₁₆ ( hex ) para n = 8 representa el número −1 en complemento a dos, pero 255 en la representación estándar.

Véase también

Teorema de Menelao
1 a. C.
2 a. C. (año -1)
Super Mario Bros. (en el mundo 1-2 al atravesar las paredes de la tubería de salida hacia el banderín de meta, si entras a la primera tubería te saldrá el nivel extraño -1)

Referencias

↑ Spivak, Michael (2012). «Propiedades básicas de los números». Calculus (3.ª edición). Barcelona: Reverté. ISBN 978-84-291-5182-4.
↑ Baldor, Aurelio (2007). Álgebra (2.ª edición). México: Grupo Editorial Patria. ISBN 978-970-817-000-0.
↑ «Imaginary Numbers». Math is Fun. Consultado el 15 de febrero de 2021.
↑ Weisstein, Eric W. «Imaginary Number». MathWorld. Consultado el 15 de febrero de 2021.
↑ Bauer, Cameron (2007). «Chapter 13: Complex Numbers». Algebra for Athletes (2nd edición). Hauppauge: Nova Science Publishers. p. 273. ISBN 978-1-60021-925-2. OCLC 957126114.
↑ mathforum.org
↑ Perlis, Sam (1971). «Capsule 77: Quaternions». Historical Topics in Algebra. Historical Topics for the Mathematical Classroom 31. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. p. 39. ISBN 9780873530583. OCLC 195566. (requiere registro).
↑ Porteous, Ian R. (1995). «Chapter 8: Quaternions». Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 50. Cambridge: Cambridge University Press. p. 60. ISBN 9780521551779. MR 1369094. OCLC 32348823. doi:10.1017/CBO9780511470912.009.
↑ Por ejemplo, $sin -1 (x)$ es una notación para la función arcoseno.
↑ Nathanson, Melvyn B. (2000). «Chapter 2: Congruences». Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. New York: Springer. pp. xviii, 1−514. ISBN 978-0-387-98912-9. MR 1732941. OCLC 42061097.
↑ Czapor, Stephen R.; Geddes, Keith O.; Labahn, George (1992). «Chapter 2: Algebra of Polynomials, Rational Functions, and Power Series». Algorithms for Computer Algebra (1st edición). Boston: Kluwer Academic Publishers. pp. 41,42. ISBN 978-0-7923-9259-0. OCLC 26212117. S2CID 964280. Zbl 0805.68072 – vía Springer.

Datos: Q310395
Multimedia: -1 (number) / Q310395

[1] Spivak, Michael (2012). «Propiedades básicas de los números». Calculus (3.ª edición). Barcelona: Reverté. ISBN 978-84-291-5182-4.

[2] Baldor, Aurelio (2007). Álgebra (2.ª edición). México: Grupo Editorial Patria. ISBN 978-970-817-000-0.

[3] «Imaginary Numbers». Math is Fun. Consultado el 15 de febrero de 2021.

[4] Weisstein, Eric W. «Imaginary Number». MathWorld. Consultado el 15 de febrero de 2021.

[imaginary-5] Bauer, Cameron (2007). «Chapter 13: Complex Numbers». Algebra for Athletes (2nd edición). Hauppauge: Nova Science Publishers. p. 273. ISBN 978-1-60021-925-2. OCLC 957126114.

[6] thforum.org

[7] Perlis, Sam (1971). «Capsule 77: Quaternions». Historical Topics in Algebra. Historical Topics for the Mathematical Classroom 31. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. p. 39. ISBN 9780873530583. OCLC 195566. (requiere registro).

[8] Porteous, Ian R. (1995). «Chapter 8: Quaternions». Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 50. Cambridge: Cambridge University Press. p. 60. ISBN 9780521551779. MR 1369094. OCLC 32348823. doi:10.1017/CBO9780511470912.009.

[9] Por ejemplo, $sin -1 (x)$ es una notación para la función arcoseno.

[MultIdRng-10] Nathanson, Melvyn B. (2000). «Chapter 2: Congruences». Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. New York: Springer. pp. xviii, 1−514. ISBN 978-0-387-98912-9. MR 1732941. OCLC 42061097.

[11] Czapor, Stephen R.; Geddes, Keith O.; Labahn, George (1992). «Chapter 2: Algebra of Polynomials, Rational Functions, and Power Series». Algorithms for Computer Algebra (1st edición). Boston: Kluwer Academic Publishers. pp. 41,42. ISBN 978-0-7923-9259-0. OCLC 26212117. S2CID 964280. Zbl 0805.68072 – vía Springer.