Momento central

En estadística el momento central o centrado de orden $k$ de una variable aleatoria $X$ es la esperanza $E [(X - E [X])^{k}]$ donde $E$ es el operador de la esperanza. Si una variable aleatoria no tiene media, el momento central es indefinido. También se puede definir como:

$μ_{k} = E [(X - E [X])^{k}] = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - μ)^{k} f (x) d x .$

Normalmente la letra griega para el momento central es μ. El primer momento central es cero y el segundo se llama varianza (σ²) donde σ es la desviación estándar. El tercer y cuarto momentos centrales sirven para definir los momentos estándar denominados de asimetría y de curtosis.

Las fórmulas de los momentos centrados y no centrados se pueden obtener a partir de la fórmula de la esperanza matemática. Si la desarrollamos, obtenemos que los momentos no centrados son:

Orden 0: $E [x^{0}] = 1$

Orden 1: $E [x] = \frac{\sum_{i} x_{i}}{n} = m = α$

Orden 2: $E [x^{2}] = \frac{\sum_{i} x_{i}^{2}}{n} = α_{2}$

Orden 3: $E [x^{3}] = \frac{\sum_{i} x_{i}^{3}}{n} = α_{3}$

Orden 4: $E [x^{4}] = \frac{\sum_{i} x_{i}^{4}}{n} = α_{4}$

Mientras que los centrados son:

Orden 0: $E [(x - m)^{0}] = 1$

Orden 1: $E [(x - m)] = α - α = 0$

Orden 2: $E [(x - m)^{2}] = α_{2} - α^{2} = σ^{2} = μ_{2}$

Orden 3: $E [(x - m)^{3}] = α_{3} - 3 α α_{2} + 2 α^{3} = μ_{3}$

Orden 4: $E [(x - m)^{4}] = α_{4} - 4 α α_{3} + 6 α^{2} α_{2} - 3 α^{4} = μ_{4}$

Enlaces externos

Simulación de la esperanza, varianza, momentos centrados y no centrados de una variable continua con R (lenguaje de programación).

Datos: Q1088747