Normalizador

En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un solo elemento, se habla entonces de un centralizador.

Definición

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por

$N (S) = {g \in G : g S g^{- 1} = S}$

En donde $g S g^{- 1}$ es el conjunto definido como ${g s g^{- 1} : s \in S}$ .

En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.

Propiedades

El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G.

Demostración
Para demostrar que es un subgrupo, basta demostrar que el producto $a b^{- 1}$ donde $a, b$ son dos elementos cualesquiera de $N (S)$ también es elemento de $N (S)$ , esto es, hayque demostrar que para todo $s \in S$ el elemento $(a b^{- 1}) s (a b^{- 1})^{- 1}$ también pertenece a S. Primero demostramos que si $b \in N (S)$ entonces $b^{- 1} \in N (S)$ ya que para cualquier $s \in S$ existe un $s_{1} \in S$ que satisfaga $b s b^{- 1} = s_{1}$ , pero entonces $s = (b^{- 1}) s_{1} (b) \in S$ , es decir, $b^{- 1} \in N (S)$ Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando $(a b^{- 1}) s (a b^{- 1})^{- 1} = a b^{- 1} s (b^{- 1})^{- 1} a^{- 1} = a b^{- 1} s b a^{- 1} = a (b^{- 1} s b) a^{- 1}$ observamos que a está conjugando al elemento $b^{- 1} s b$ , el cual a su vez es la conjugación por $b^{- 1}$ de s. Pero como $b \in N (S)$ , entonces $b^{- 1} \in N (S)$ y por tanto $b^{- 1} s b \in S$ . Denotemos por $s_{2}$ a $b^{- 1} s b$ y entonces la expresión original se reescribe como $a s_{2} a^{- 1}$ que, al estar a en $N (S)$ , también pertenece a S. Concluimos entonces que $(a b^{- 1}) s (a b^{- 1})^{- 1} \in S$ y por tanto $N (S)$ es un subgrupo.

Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo.

Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.

Demostración
Si H es un subgrupo de G, entonces el normalizador es precisamente el conjunto de todos los elementos g del grupo para los cuales $g N g^{- 1} = N$ , que es precisamente la condición que define a un subgrupo normal.

Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G.

Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo: $[G : N (H)]$ y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito.

Además, dos clases de conjugación coinciden, $a H a^{- 1} = b H b^{- 1}$ , si y sólo si $a b^{- 1} \in N (H)$

Según Lang, se consideran estas dos más:
Si K es un subgrupo del normalizador N(H), KH es un grupo y H es normal en KH.
El normalizador de H es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

Ejemplos

El normalizador de cualquier subgrupo normal es el grupo completo. En particular N(<e>) y N(G) son ambos iguales a G.
El subgrupo H de $S_{4}$ generado por el ciclo $(1, 2, 3, 4)$ no es normal, por tanto su normalizador no es el grupo completo de permutaciones. En este caso, el normalizador de H es el subgrupo generado por las permutaciones $(1, 2, 3, 4), (2, 4), (1, 3) (2, 4)$ .

Referencias

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2 edición), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 ..
Fraleigh, John (1987), Álgebra abstracta 1 (1 edición), Addison-Wesley iberoamericana, ISBN 0-201-64052-X ..

Bibliografía

Baumslag, B.; Chandler, B.: Teoría de grupos (1972), Mc Graw-Hill de México, impreso en Colombia.
Zaldívar, Felipe: Introducción a la teoría de grupos (2009), Sociedad Matemática Mexicana-Reverté ediciones.
Lang, Serge: Álgebra (1973), Aguilar, Madrid, primera reimpresión.

Datos: Q1761121