Problema de Waring-Goldbach

El problema de Waring-Goldbach es una cuestión planteada en el campo de la teoría de números aditiva, que trata sobre la representación de los números enteros como sumas de potencias de números primos. Su nombre proviene de la combinación del problema de Waring sobre sumas de potencias de enteros y de la conjetura de Goldbach sobre sumas de primos. Fue planteado por Hua Luogeng en 1938.

Enunciado del problema

Se pregunta si los números grandes pueden expresarse como una suma, con como máximo un número constante de términos, de potencias iguales de números primos. Es decir, para cualquier número natural dado, k, ¿es cierto que para un entero N suficientemente grande necesariamente existe un conjunto de primos, p₁, p₂, ..., p_t, tales que N = p₁^k + p₂^k + ... + p_t^k, donde t es como máximo un valor constante?

El caso k= 1 es una versión más débil de la conjetura de Goldbach. Se han logrado algunos avances en los casos k= 2 a 7.

Justificación heurística

Según el teorema de los números primos, el número de potencias de orden k de un número primo menor que x es del orden x^1/k/log x.

A partir de esto, el número de expresiones de t términos con sumas =x es aproximadamente x^t/k/(log x)^t.

Es razonable suponer que para algún número t suficientemente grande, esto es x-c, es decir, todos los números hasta x son sumas t veces mayores de potencias k de números primos. Este argumento, por supuesto, dista mucho de ser una demostración rigurosa.

Resultados relevantes

En su monografía, utilizando y perfeccionando los métodos de Hardy, Littlewood y Vinogradov, Hua Luogeng obtiene una cota superior de O(k² log k) para el número de términos necesarios para que todos los números suficientemente grandes sean la suma de potencias k de números primos.

Todo entero impar suficientemente grande es la suma de 21 potencias quintas de números primos.

Véase también

• Problema de Waring
• Conjetura de Goldbach

Referencias