Producto interior El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial . Por tanto, si X es un campo vectorial en una variedad M , entonces
ι
X
:
Ω
p
(
M
)
→
Ω
p
−
1
(
M
)
{\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}
es la aplicación que envía una p -forma ω a la (p − 1)-forma ι X ω definida por la propiedad de que
(
ι
X
ω
)
(
X
1
,
…
,
X
p
−
1
)
=
ω
(
X
,
X
1
,
…
,
X
p
−
1
)
{\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}
para cualquier campo vectorial X 1 , ..., X p −1
El producto interior es la única antiderivación de grado − 1 en el álgebra exterior , de modo que en uno-formas α
ι
X
α
=
α
(
X
)
=
⟨
α
,
X
⟩
{\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle }
donde ⟨ , ⟩ es el emparejamiento dual entre α y el vector X . Explícitamente, si β es una forma p , entonces
ι
X
(
β
∧
γ
)
=
(
ι
X
β
)
∧
γ
+
(
−
1
)
p
β
∧
(
ι
X
γ
)
.
{\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=(\iota _{X}\beta )\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge (\iota _{X}\gamma ).}
La relación anterior indica que el producto interior obedece a una regla de Leibniz calificada. Una operación que satisface la linealidad junto con una regla de Leibniz se llama derivación.
Propiedades
Por antisimetría de formas,
ι
X
ι
Y
ω
=
−
ι
Y
ι
X
ω
{\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega }
y entonces
ι
X
∘
ι
X
=
0
{\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0}
derivada exterior d , que tiene la propiedad de que d ∘ d = 0
El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales por la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan o fórmula mágica de Cartan )
L
X
ω
=
d
(
ι
X
ω
)
+
ι
X
d
ω
=
{
d
,
ι
X
}
ω
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}
Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en topología simpléctica y relatividad general : consúltese la aplicación momento . La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan .
El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
ι
[
X
,
Y
]
=
[
L
X
,
ι
Y
]
.
{\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].}
Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction ; Cambridge University Press, 3rd ed. 2011
Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds , 2e, Springer. 2011. doi 10.1007/978-1-4419-7400-6 
![{\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3919c1420555be30db095062065188a373effd92)
