Red compleja

En el contexto de la ciencia de redes, una red compleja se refiere a una red (modelada como grafo) que posee ciertas propiedades estadísticas y topológicas no triviales que no ocurren en redes simples; p.e., distribuciones de grado que siguen leyes de potencia, estructuras jerárquicas, estructuras comunitarias, longitud entre cualesquiera dos entes del sistema corto, o alta cohesividad local (medida a través del coeficiente de agrupamiento). Ejemplo de redes con tales características en la naturaleza son las redes sociales, las redes neuronales, las redes de tráfico aéreo y las redes tróficas, entre muchas otras.

Definición matemática de red

Una red o grafo $R = (𝒩, ℰ)$ se define por un conjunto $𝒩 = 𝒩 (R)$ de elementos llamados nodos o vértices y otro conjunto, $ℰ = ℰ (R) \subset 𝒩 \times 𝒩$ de elementos denominados enlaces o aristas. Cada enlace corresponde a un par no-ordenado ${i, j}$ de nodos. Si consideramos los enlaces como pares ordenados, diremos que $R$ es una red dirigida o grafo dirigido. Si cada enlace ${i, j}$ tiene asignado un valor numérico $w_{i j}$ , diremos que la red es ponderada y el valor $w_{i j}$ será llamado peso o ponderación del enlace ${i, j}$ .

Conceptos básicos en redes

Dos nodos $i, j$ de una red se dicen adyacentes si estos están conectados por un enlace. Se dirá que un enlace es incidente en un nodo $i$ si dicho enlace es de la forma ${i, j}$ para algún $j$ en $𝒩 (R)$ . El vecindario de $i$ , generalmente denotado por $V (i)$ , se define como el conjunto de los $j \in 𝒩 (R)$ tales que ${i, j} \in ℰ (R)$ . El conjunto $V^{+} (i) = V (i) \cup {i}$ será llamado vecindario inclusivo de $i$ .

Definición de subred

Si $𝒩^{'} \subseteq 𝒩$ y $ℰ^{'} \subseteq 𝒩^{'} \times 𝒩^{'}$ tal que $ℰ^{'} \subseteq ℰ$ , se dice que el par $R^{'} = (𝒩^{'}, ℰ^{'})$ es una subred (o subgrafo) de $R = (𝒩, ℰ)$ . Si $ℰ^{'} = (𝒩^{'} \times 𝒩^{'}) \cap ℰ$ diremos que $R^{'}$ es la sub-red inducida por $𝒩^{'}$ .

k-Clique o k- red completa

Un $k -$ {clique} (o $k -$ {red completa}), denotada por $K_{n}$ , es una red en la que todo par de nodos $i, j \in 𝒩 (K_{n})$ esta conectado por un enlace en $ℰ (K_{n})$ . Un clique $C \subseteq R$ se dice maximal si no puede agregarse otro nodo a $R$ sin que este deje de ser un clique en $R$ .

Redes bipartitas

Básicamente, en este tipo de redes el conjunto de nodos $𝒩$ puede escribirse como la unión disjunta de dos conjuntos $𝒩_{1}$ y $𝒩_{2}$ de manera que en la red no hay enlaces de la forma ${i, j} \in ℰ$ con $i \in 𝒩_{1}$ y $j \in 𝒩_{2}$ . En la figura puede verse un ejemplo de este tipo de redes.

Matriz de adyacencia

La matriz de adyacencia $A$ de una red $R$ es una matriz de $n \times n$ tal que

$A_{i j} = {\begin{matrix} 1 & si {i, j} \in ℰ (R) \\ 0 & en caso contrario. \end{matrix}$

Esta matriz nos permite representar de manera algebraica la estructura de red.