Sección (geometría)

En geometría y ciencia, una sección transversal es la intersección no vacía de un cuerpo sólido tridimensional con un plano, o su análogo en espacios de mayor dimensión. Cortar un objeto en rebanadas genera muchas secciones transversales paralelas. El contorno de una sección transversal en el espacio tridimensional que es paralelo a dos de los ejes —es decir, paralelo al plano determinado por estos ejes— a veces se denomina isolínea; por ejemplo, si un plano corta las montañas de un mapa en relieve paralelamente al suelo, el resultado es una curva de nivel en el espacio bidimensional que muestra puntos en la superficie de las montañas con igual cota.

En dibujo técnico, una sección transversal —al ser una proyección de un objeto sobre un plano que lo interseca— es una herramienta común para representar la disposición interna de un objeto tridimensional en dos dimensiones. Tradicionalmente, se rotula mediante un estilo de rayado cruzado que a menudo indica los tipos de materiales utilizados.

Mediante tomografía computarizada, los ordenadores pueden generar secciones transversales a partir de los datos generados a partir de haces de rayos X.

Definición

Si un plano interseca un sólido (un objeto tridimensional), la región común al plano y al sólido se denomina sección transversal del sólido. Un plano que contiene una sección transversal del sólido puede denominarse plano de corte.

La forma de la sección transversal de un sólido puede depender de la orientación del plano de corte respecto al sólido. Por ejemplo, mientras que todas las secciones transversales de una esfera son discos, las secciones transversales de un cubo dependen de la relación entre el plano de corte y el cubo. Si el plano de corte es perpendicular a una recta que une los centros de dos caras opuestas del cubo, la sección transversal será un cuadrado; sin embargo, si el plano de corte es perpendicular a una diagonal del cubo que une vértices opuestos, la sección transversal puede ser un punto, un triángulo o un hexágono.

Ejemplos

Una sección transversal de un poliedro es un polígono.

Las secciones cónicas – circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas – son secciones planas de un cono obtenidas mediante planos de corte con diversos ángulos, tal como se muestra en el diagrama de la izquierda.

Cualquier sección transversal que pase por el centro de un elipsoide forma una región elíptica, mientras que las secciones planas correspondientes son elipses situadas en su superficie. Estas degeneran en discos y círculos, respectivamente, cuando los planos de corte son perpendiculares respecto a un eje de simetría. En términos más generales, las secciones planas de una cuádrica son secciones cónicas.

Una sección transversal de un cilindro circular recto sólido que se extiende entre dos bases es un disco si la sección es paralela a la base del cilindro, o una región elíptica (véase el diagrama de la derecha) si no es ni paralela ni perpendicular a la base. Si el plano de corte es perpendicular a la base, consiste en un rectángulo (no mostrado), a menos que sea simplemente tangente al cilindro, en cuyo caso es un único segmento.

El término cilindro también puede referirse a la superficie lateral de un cilindro sólido (véase cilindro). Si se utiliza el término cilindro en este sentido, el párrafo anterior se leería así: una sección plana de un cilindro circular recto de longitud finita es una circunferencia si el plano de corte es perpendicular al eje de simetría del cilindro, o una elipse si no es ni paralelo ni perpendicular a dicho eje. Si el plano de corte es paralelo al eje, la sección plana consiste en un par de segmentos de recta paralelos, a menos que el plano de corte sea tangente al cilindro, en cuyo caso la sección plana es un único segmento de recta.

Un gráfico de z = x² + xy + y². Para la derivada parcial en (1, 1, 3) que mantiene constante a y, la línea tangente (geometría) correspondiente es paralela al plano xz.

Una sección plana del gráfico anterior que muestra la curva de nivel en el plano xz en y= 1.

Se puede utilizar una sección plana para visualizar la derivada parcial de una función con respecto a uno de sus argumentos, tal como se muestra. Supóngase z= f(x, y). Al calcular la derivada parcial de f(x, y) con respecto a x, es posible tomar una sección plana de la función f en un valor fijo de y para representar la curva de nivel de z únicamente en función de x. Entonces, la derivada parcial con respecto a x es la pendiente del gráfico bidimensional resultante.

Área y volumen

El principio de Cavalieri establece que los sólidos con secciones transversales correspondientes de igual área tienen volúmenes iguales.

El área de la sección transversal (${\displaystyle A'}$) de un objeto, cuando se observa desde un ángulo determinado, es el área total de la proyección ortográfica del objeto desde ese ángulo. Por ejemplo, un cilindro de altura h y radio r tiene un valor ${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$ cuando se observa a lo largo de su eje central, y un valor ${\displaystyle A'=2rh}$ cuando se observa desde una dirección ortogonal. Una esfera de radio r tiene un valor ${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$ cuando se observa desde cualquier ángulo. De manera más general, el valor ${\displaystyle A'}$ puede calcularse evaluando la siguiente integral de superficie:

${\displaystyle A'=\iint \limits _{\mathrm {top} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,}$

donde ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ es el vector unitario que apunta en la dirección de observación hacia el observador, ${\displaystyle d\mathbf {A} }$ es un elemento de superficie con una normal que apunta hacia afuera, y la integral se realiza únicamente sobre la superficie más externa, es decir, aquella parte de la superficie que es visible desde la perspectiva del observador. Para un cuerpo convexo, cada rayo que atraviesa el objeto desde la perspectiva del observador cruza exactamente dos superficies. En tales objetos, la integral puede calcularse sobre toda la superficie (${\displaystyle A}$) tomando el valor absoluto del integrando (para evitar que las partes superior e inferior del objeto se resten entre sí, como ocurriría al aplicar el teorema de la divergencia al campo vectorial constante ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$) y dividiendo el resultado por dos:

${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |}$

En dimensiones superiores

Por analogía con la sección transversal de un sólido, la sección transversal de un cuerpo de dimensión n en un espacio de dimensión n es la intersección no vacía del cuerpo con un hiperplano (un subespacio de dimensión (n − 1)). Este concepto se ha utilizado a veces para ayudar a visualizar aspectos de espacios de dimensiones superiores. Por ejemplo, si un objeto tetradimensional atravesara el espacio tridimensional, se vería una sección transversal tridimensional del objeto de cuatro dimensiones. En particular, una hiperesfera (o bola 4D) que atravesara el espacio tridimensional aparecería como una bola tridimensional que aumenta hasta un tamaño máximo y luego disminuye durante la transición. Este objeto dinámico (desde la perspectiva del espacio tridimensional) es una secuencia de secciones transversales de una bola tetradimensional.

Ejemplos en la ciencia

En geología, la estructura interior de un planeta suele ilustrarse mediante un diagrama de una sección transversal que pasa por su centro, como en la sección transversal de la Tierra que aparece a la derecha.

Las secciones transversales se utilizan a menudo en anatomía para ilustrar la estructura interna de un órgano, tal como se muestra a la izquierda.

Una sección transversal del tronco de un árbol, como se muestra a la izquierda, revela los anillos de crecimiento que pueden utilizarse para determinar la edad del árbol y las características temporales de su entorno.

Véase también

Referencias

Bibliografía

• Albert, Abraham Adrian (2016) [​1949​], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3 .
• Stewart, Ian (2001), Flatterland / like flatland, only more so, Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X .
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate edición), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7 .

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Sección.
• Apuntes de Dibujo Técnico y Geometría. Universidad Nacional del Nordeste, Argentina
• Ejercicios resueltos de cortes y secciones en Trazoide
• Intersección con dos superficies
• Geometría Descriptiva - Secciones