Segmento circular

En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular (sagita) , y d la altura de la porción triangular (apotema).

es  $R = h + d \frac{}{}$

La longitud de la cuerda es $c = 2 R sen (\frac{θ}{2}) = R \sqrt{2 - 2 \cos θ} = R \sqrt{2 (1 - \cos θ)}$

Área

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.

A = R^{2} \cdot \frac{θ}{2} - \frac{R^{2} sen θ}{2} = \frac{R^{2}}{2} (θ - sen θ)

Si el ángulo está en radianes.

Área en función de una altura $h_{L}$ en caso de un cilindro horizontal con un nivel de agua $h_{L}$ :

$d = - h_{L} + R$

$θ = 2 \arccos (\frac{- h_{L} + R}{R}) = 2 \arccos (1 - \frac{h_{L}}{R})$

El área del sector circular es: $A = π R^{2} \cdot \frac{θ}{2 π} = \frac{R^{2} \cdot θ}{2}$

Si se bisecciona el ángulo $θ$ , y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:

R sen \frac{θ}{2} \cdot R \cos \frac{θ}{2} = R^{2} sen \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen

$A = R^{2} (\frac{θ}{2} - sen \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2})$

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble $sen 2 θ = 2 sen θ \cos θ$ , por lo tanto:

$sen \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2} = \frac{1}{2} sen θ$

con lo que resulta que el área es:

$A = R^{2} (\frac{θ}{2} - \frac{1}{2} sen θ) = \frac{R^{2}}{2} (θ - sen θ)$