Σ-álgebra

En matemáticas, una $\sigma$ -álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto $\Omega$ es una familia ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ no vacía de subconjuntos de $\Omega$ , cerrada bajo complementarios y uniones numerables. Las $\sigma$ -álgebras se usan principalmente para definir medidas. Es un concepto muy importante en análisis matemático y teoría de la probabilidad.

Definición

$\sigma$ -álgebra

Sea $\Omega$ un conjunto no vacío.

Llamamos $\sigma$ -álgebra sobre $\Omega$ a una familia ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ no vacía de subconjuntos de $\Omega$ que verifique:

$\Omega \in {\mathcal {A}}$ (contiene al total).

$A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$ (cerrada bajo complementarios).

$A_{n}\in {\mathcal {A}}\,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$ (cerrada bajo uniones numerables).

Al par $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ se le llama espacio medible o espacio probabilizable, en función del contexto.

A los elementos de ${\mathcal {A}}$ se les llama conjuntos ${\mathcal {A}}$ -medibles (o simplemente conjuntos medibles). En un contexto probabilístico, se les suele llamar sucesos.

Obsérvese que, al imponer que ${\mathcal {A}}$ sea no vacía, se puede suprimir la primera condición. Asimismo, se puede obtener otra definición equivalente suprimiendo la condición de que ${\mathcal {A}}$ sea no vacía.

Propiedades

Propiedades básicas de las $\sigma$ -álgebras

Sea ${\mathcal {A}}$ una $\sigma$ -álgebra sobre un conjunto $\Omega$ . Se cumplen las siguientes propiedades:

El conjunto vacío pertenece a la $\sigma$ -álgebra:
$\emptyset \in {\mathcal {A}}$ .

La $\sigma$ -álgebra es cerrada bajo uniones finitas:
$A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .

La $\sigma$ -álgebra es cerrada bajo intersecciones numerables:
$A_{n}\in {\mathcal {A}}\,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$ .

La $\sigma$ -álgebra es cerrada bajo intersecciones finitas:
$A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .

La $\sigma$ -álgebra es cerrada bajo diferencia de conjuntos:
$A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}$ .

Cabe destacar otra propiedad importante relativa a las $\sigma$ -álgebras:

Sea $\{{\mathcal {A}}_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ una familia arbitraria de $\sigma$ -álgebras sobre $\Omega$ .

Entonces, la intersección $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {A}}_{\lambda }$ es también una $\sigma$ -álgebra sobre $\Omega$ .

(La intersección de todas las $\sigma$ -álgebras que contienen a $\Omega$ resulta en la menor $\sigma$ -álgebra que contiene a $\Omega$ )

Por el contrario, la unión de $\sigma$ -álgebras no es en general una $\sigma$ -álgebra.

Ejemplos

Para cualquier conjunto $\Omega$ , la familia $\{\emptyset ,\Omega \}$ es una $\sigma$ -álgebra (la menor $\sigma$ -álgebra posible sobre $\Omega$ ). Esta $\sigma$ -álgebra se denomina $\sigma$ -álgebra trivial.
Para cualquier conjunto $\Omega$ , la familia ${\mathcal {P}}(\Omega )$ (conjunto potencia) es una $\sigma$ -álgebra (la mayor $\sigma$ -álgebra posible sobre $\Omega$ ).
Si $\Omega =\{a,b,c,d\}$ , la familia ${\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{a\},\{b,c,d\},\Omega \}$ es una $\sigma$ -álgebra (la menor que contiene al conjunto $\{a\}$ ).
Para cualquier conjunto $\Omega$ , la familia $\{A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A{\text{ o }}A^{c}{\text{ numerable}}\}$ (subconjuntos numerables o de complementario numerable) es una $\sigma$ -álgebra. Esta familia es distinta del conjunto potencia de $\Omega$ si y sólo si $\Omega$ es no numerable.

σ-álgebra inducida

$\sigma$ -álgebra inducida

Sea ${\mathcal {A}}$ una $\sigma$ -álgebra sobre un conjunto $\Omega$ y $E\subseteq \Omega$ no vacío.

La familia

${\mathcal {A}}_{E}=\{A\cap E:A\in {\mathcal {A}}\}$

es una $\sigma$ -álgebra sobre $E$ . Recibe el nombre de $\sigma$ -álgebra inducida.

σ-álgebra generada por una familia de subconjuntos

$\sigma$ -álgebra generada por una familia de subconjuntos

Sea ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ una familia de subconjuntos de $\Omega$ .

Se define la $\sigma$ -álgebra generada por ${\mathcal {S}}$ , denotada por $\sigma ({\mathcal {S}})$ o $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ , como la menor $\sigma$ -álgebra (en el sentido de la inclusión) que contiene a ${\mathcal {S}}$ .

Se construye como intersección de todas las $\sigma$ -álgebras que contienen a ${\mathcal {S}}$ .

Ejemplos

Si $A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A\neq \emptyset ,A\neq \Omega$ , entonces $\sigma \left(A\right)=\{\emptyset ,A,A^{c},\Omega \}$ . Concretamente, si $\Omega =\{a,b,c,d\}$ , entonces tenemos el ejemplo antes visto: $\sigma \left(\{a\}\right)=\{\emptyset ,\{a\},\{b,c,d\},\Omega \}$ .
Sea ${\mathcal {S}}=\{\{x\}:x\in \Omega \}$ . Entonces $\sigma \left({\mathcal {S}}\right)=\{A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A{\text{ o }}A^{c}{\text{ numerable}}\}$ , otro ejemplo mencionado anteriormente.

σ-álgebra de Borel

Artículo principal: Álgebra de Borel

$\sigma$ -álgebra de Borel

Si $(X,{\mathcal {T}})$ es un espacio topológico, la $\sigma$ -álgebra ${\mathcal {B}}=\sigma \left({\mathcal {T}}\right)$ se denomina $\sigma$ -álgebra de Borel.

A sus elementos se les llama conjuntos de Borel o borelianos.

σ-álgebra producto

$\sigma$ -álgebra producto

Sean $(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1}),(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ dos espacios medibles.

Se define la $\sigma$ -álgebra producto sobre $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ como:

${\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}=\sigma \left(\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}\}\right)$

Funciones medibles

Artículo principal: Función medible

Función medible

Una función $f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ entre dos espacios medibles se dice medible si la preimagen de cualquier conjunto ${\mathcal {A}}_{2}$ -medible es ${\mathcal {A}}_{1}$ -medible, esto es:

$\forall A\in {\mathcal {A}}_{2},\,f^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{1}$ .

Esta definición inspira la construcción de dos nuevas $\sigma$ -álgebras:

σ-álgebra mínima

Sea $\Omega _{1}$ un conjunto, $(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ un espacio medible y $f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$ una aplicación.

Entonces, la familia

${\mathcal {A}}_{1}=\{f^{-1}(A):A\in {\mathcal {A}}_{2}\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega _{1})$

es una $\sigma$ -álgebra sobre $\Omega _{1}$ .

Por construcción, esta es la mínima $\sigma$ -álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre $\Omega _{1}$ tal que la función $f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ es medible.

σ-álgebra máxima

Sea $(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})$ un espacio medible, $\Omega _{2}$ un conjunto y $f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$ una aplicación.

Entonces, la familia

${\mathcal {A}}_{2}=\{f(A):A\in {\mathcal {A}}_{1}\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega _{2})$

es una $\sigma$ -álgebra sobre $\Omega _{2}$ .

Por construcción, esta es la máxima $\sigma$ -álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre $\Omega _{2}$ tal que la función $f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ es medible.

Véase también

Bibliografía

Robert G. Bartle (1995) [1966]. The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226.
Medida e integración , Mauro Chumpitaz (1989) UNI- Lima.
Teoría de la medida, Mauro Chumpitaz (1991) UNI- Lima.

Datos: Q217357