Subcategoría

En matemática, específicamente en teoría de categorías, una subcategoría de una categoría ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ es una categoría ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ cuyos objetos y morfismos existen en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, y que hereda la composición y los morfismos identidad de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Intuitivamente, una subcategoría de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ se obtiene al remover algunos de los objetos y morifsmos de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Definición

Sea ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ una categoría. Decimos que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es una subcategoría de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ si está dada por una subcolección de objetos de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle Ob({\mathcal {S}})}$ y una subcolección de morfismos de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle Mor({\mathcal {S}})}$, tales que:

• para todo objeto ${\displaystyle X\in Ob({\mathcal {S}})}$, su morifsmo identidad está en ${\displaystyle Mor({\mathcal {S}})}$,
• para todo morfismo ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ en ${\displaystyle Mor({\mathcal {S}})}$, tanto ${\displaystyle X}$ como ${\displaystyle Y}$ están en ${\displaystyle Ob({\mathcal {S}})}$,
• para cualquier pareja de morfismos ${\displaystyle f,g\in Mor({\mathcal {S}})}$, el compuesto ${\displaystyle g\circ f}$ está en ${\displaystyle Mor({\mathcal {S}})}$.

Estas condiciones garantizan que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ sea una categoría, y dan lugar a un funtor fiel ${\displaystyle I\colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$, llamado el funtor inclusión, que toma los objetos y morfismos a sí mismos dentro de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Adicionalmente, decimos que una subcategoría ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es completa, si para cualesquiera objetos ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ en ${\displaystyle Ob({\mathcal {S}})}$, todo morfismo ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ en ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})}$ es también un morfismo en ${\displaystyle Mor({\mathcal {S}})}$; ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es repleta si para todo objeto ${\displaystyle X\in Ob({\mathcal {S}})}$, e isomorfismo ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ en ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})}$, ${\displaystyle f\in Mor({\mathcal {S}})}$ y ${\displaystyle Y\in Ob({\mathcal {S}})}$; y por último, ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es amplia si todo objeto ${\displaystyle C\in Ob({\mathcal {C}})}$ es también un objeto de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Ejemplos

• La categoría de conjuntos finitos forma una subcategoría completa de la categoría de conjuntos.
• La categoría de grupos Abelianos forma una subcategoría completa de la categoría de grupos.
• La categoría de matrices con entradas en los racionales diádicos forma una subcategoría amplia de la categoría de matrices con entradas en los reales.