Elemento supremo e ínfimo

En matemáticas, dado un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un conjunto parcialmente ordenado ${\displaystyle \left(P,\leq \right)}$, el supremo de ${\displaystyle S}$, si existe, es el mínimo elemento de ${\displaystyle P}$ que es mayor o igual a cada elemento de ${\displaystyle S}$. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de ${\displaystyle S}$. El supremo de un conjunto ${\displaystyle S}$ comúnmente se denota como ${\displaystyle \sup S}$.

De forma análoga, se define el ínfimo ${\displaystyle S}$, si existe, como la mayor de las cotas inferiores de ${\displaystyle S}$, y se suele denotar por ${\displaystyle \inf S}$.

Definiciones

Sea ${\displaystyle T}$ un subconjunto no vacío de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

1. Si ${\displaystyle T}$ está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo ―o una mínima cota superior― de ${\displaystyle T}$ si es menor que cualquier cota superior de ${\displaystyle T}$. En tal caso, a esa cota superior se le denota ${\displaystyle \sup T}$.
2. Si ${\displaystyle T}$ está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo ―o una máxima cota inferior― de ${\displaystyle T}$ si es mayor que cualquier cota inferior de ${\displaystyle T}$. En tal caso, a esa cota inferior se le denota ${\displaystyle \inf T.}$

Propiedades

• En el cuerpo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.

• ${\displaystyle s}$ es supremo del subconjunto ${\displaystyle T}$ no vacío del conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de números reales si es cota superior de ${\displaystyle T}$ y si, y solo si para toda ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe ${\displaystyle s_{\varepsilon }}$ en ${\displaystyle T}$ tal que ${\displaystyle s-\varepsilon <s_{\varepsilon }}$.

• ${\displaystyle r}$ es ínfimo del subconjunto ${\displaystyle T}$ no vacío del conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de números reales si es cota inferior de ${\displaystyle T}$ y si, y solo si para toda ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe ${\displaystyle r_{\varepsilon }}$ en ${\displaystyle T}$ tal que ${\displaystyle r+\varepsilon >r_{\varepsilon }}$.

• Sean ${\displaystyle L}$ un subconjunto acotado de números reales y ${\displaystyle K}$ un subconjunto no vacío de ${\displaystyle L}$. Se cumple que ${\displaystyle \inf L\leq \inf K\leq \sup K\leq \sup L}$.

• Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
• ${\displaystyle \sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}}$, si es que dichos supremos existen
• ${\displaystyle \inf(A\cup B)=\min\{\inf(A),\inf(B)\}}$, si es que dichos ínfimos existen
• Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

• ${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3\,}$
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3\}=1\,}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\inf\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=0\,}$

• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}\,}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}<2\}=0\,}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=1\,}$
• ${\displaystyle \inf \left\{{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=0\,}$

Véase también

• Acotado

• Elemento maximal y minimal
• Elemento máximo y mínimo

• Elemento mayorante y minorante
• Elemento mayor y menor

• Elemento supremo e ínfimo

Referencias

Bibliografía

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
• Supremum (en PlanetMath.org)
• Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.