Teorema de Gelfond-Schneider

En matemática, el teorema de Gelfond-Schneider es un resultado que establece la trascendencia de una gran clase de números. Fue probado originalmente por Alexander Gelfond y de nuevo de forma independiente por Theodor Schneider en 1934. El teorema de Gelfond–Schneider es una respuesta al séptimo problema de Hilbert.

Enunciado

Si

\alpha

y

\beta

\alpha \neq 0,1

), y si

\beta

no es un número racional, entonces cualquier valor de α^β es un número trascendente.

En general, $\alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}$ es multivaluada, donde "log" es el logaritmo complejo. Ésta es la razón de la expresión "cualquier valor de" en el enunciado.
La siguiente es una formulación equivalente del teorema: si $\alpha$ y $\gamma$ son números algebraicos diferentes de cero, y $\alpha \neq 1$ , entonces $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ es (real) racional o trascendente.
Si se elimina la restricción de que $\beta$ sea algebraica, el enunciado no será cierto en el caso general (escójanse $\alpha =3$ y $\beta =\log 2/\log 3$ , que es trascendente, y $\alpha ^{\beta }=2$ , que es algebraico). No se conoce una caracterización de los valores de α y β que produzca un α^β trascendente.

Se deriva inmediatamente del teorema la trascendencia de los siguientes números:

$2^{\sqrt {2}}$ (la constante de Gelfond-Schneider) y ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$
$e^{\pi }$ (constante de Gelfond), dado que $e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}$ .

Teorema de Lindemann–Weierstrass
Conjetura de Schanuel; si se demostrase, implicaría tanto el teorema de Gelfond-Schneider como el de Lindemann-Weierstrass

Sur le septième problème de D. Hilbert. (Russian, French) , de A. Gelfond, C. R. Acad. Sc. URSS (2) 2 (1934), pp. 1-6. (zbMATH Open)

Irrational Numbers, de Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956. (zbMATH Open)

Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendenz von Potenzen. (German) , de Theodor Schneider, J. Reine Angew. Math. 172 (1934), pp. 65-69. (zbMATH Open)