Teorema de Krein-Rutman

En análisis funcional, el teorema de Krein-Rutman es una generalización del teorema de Perron-Frobenius a los espacios infinitamente dimensionales de Banach. Fue probado por Krein y Rutman en 1948.

Declaración

Dejar a ${\displaystyle X}$ ser un espacio de Banach, y dejar${\displaystyle K\subset X}$ ser un cono convexo tal que ${\displaystyle K-K}$ es denso en ${\displaystyle X}$, es decir, el cierre del grupo ${\displaystyle \{u-v:u,\,v\in K\}=X}$. ${\displaystyle K}$ también se conoce como cono total. Dejar ${\displaystyle T:X\to X}$ ser un operador compacto distinto de cero que es positivo, lo que significa que ${\displaystyle T(K)\subset K}$, y asumiendo que su radio espectral ${\displaystyle r(T)}$ es estrictamente positivo.

Luego ${\displaystyle r(T)}$ es un valor propio de ${\displaystyle T}$ con vector propio positivo, lo que significa que existe ${\displaystyle u\in K\setminus {0}}$ tal que ${\displaystyle T(u)=r(T)u}$.

Teorema de De Pagter

Si el operador positivo ${\displaystyle T}$ se supone que es ideal irreductible, es decir, no hay ideal${\displaystyle J\neq 0}$,${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle TJ\subset J}$, entonces el teorema de De Pagter afirma que ${\displaystyle r(T)>0}$.

Por lo tanto, para operadores ideales irreductibles, el supuesto ${\displaystyle r(T)>0}$ no es necesario.

Referencias