Torsor

En mecánica, un torsor (del francés torseur) es un elemento del cálculo algebraico que consiste en un pares de vectores, como fuerzas y momentos o velocidad angular y lineal, que surgen en la mecánica del sólido rígido. El término similar torsor también es usado en geometría algebraica para definir un fibrado principal.

El marco matemático fue desarrollado en 1876 por Robert Stawell Ball (1840-1913) para su aplicación en cinemática y estática de cuerpos rígidos.

Proporciona una formulación matemática para la geometría lineal que sirve de fundamento para la mecánica del sólido rígido, donde las rectas forman los ejes de torsión del movimiento espacial y las líneas de acción de las fuerzas. El par de vectores que forman las coordenadas plückerianas de una recta, define un torsor unitario, y los torsores generales se obtienen mediante la multiplicación de un par de números reales y la adición de vectores. Estos elementos numéricos, asimilables a bivectores, se van a denominar en el presente artículo torsores.

Un resultado importante es que los cálculos geométricos con puntos ligados a vectores poseen cálculos geométricos paralelos para las líneas obtenidas al reemplazar vectores por torsores. Este hecho se denomina el principio de transferencia.

Los torsores se han convertido en una herramienta importante en la robótica, en el diseño mecánico, en la geometría computacional y en los sistemas multicuerpo.

Esto se debe en parte a la relación entre los torsores y los cuaterniones duales, utilizados para interpolar el movimiento de un cuerpo rígido. Basándose en la torsores, también se ha desarrollado un enfoque eficiente para la síntesis de tipos de mecanismos paralelos (manipuladores paralelos o robots paralelos).

Los teoremas fundamentales incluyen el teorema de Poinsot (Louis Poinsot, 1806) y el teorema de Chasles (Michel Chasles, 1832).

Felix Klein vio los torsores como una aplicación de la geometría elíptica, ligada a su Programa de Erlangen. También elaboró una geometría elíptica y una nueva visión de la geometría euclidiana con la métrica de Cayley-Klein

Harvey Lipkin describió el uso de una matriz simétrica para definir una cónica de von Staudt y una métrica, aplicados a los torsores. Otros autores con aportaciones destacadas incluyen a Julius Plücker, W. K. Clifford, F. M. Dimentberg, Kenneth H. Hunt, y J. R. Phillips.

Conceptos básicos

Un desplazamiento espacial de un cuerpo rígido puede definirse por una rotación alrededor de una recta y una traslación sobre la misma recta, llamado desplazamiento torsorial. Esto se conoce como el teorema de Chasles. Los seis parámetros que definen el desplazamiento torsorial son los cuatro componentes independientes del vector de Plücker que definen el eje de la hélice, junto con el ángulo de rotación alrededor y el deslizamiento lineal paralelo al eje, y forman un par de vectores llamado torsor. Análogamente, los seis parámetros que definen un desplazamiento espacial también pueden ser dados por los tres ángulos de Euler que definen la rotación y los tres componentes del vector de traslación.

Álgebra de torsores

Sea un torsor un par ordenado con la forma

${\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),}$

donde S y V son vectores reales tridimensionales. La suma y la diferencia de estos pares ordenados se calculan por componentes. Los torsores a menudo se llaman vectores duales.

Ahora, introdúzcase el par ordenado de números reales â = (a, b) llamados escalares duales. Que la suma y la resta de estos números sean componentes y définase la multiplicación como

${\displaystyle {\hat {a}}{\hat {c}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).\!}$

La multiplicación de un torsor S = (S, V) por el escalar dual â = (a, b) se calcula en forma de componentes para que sea,

${\displaystyle {\hat {a}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).\!}$

Finalmente, se introducen los productos escalar y vectorial de torsores mediante las fórmulas:

${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$

que es un doble escalar, y

${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).}$

que es un torsor. Los productos escalar y vectorial de torsores satisfacen las identidades del álgebra vectorial, y permiten cálculos que son directamente análogos a los cálculos en el álgebra de vectores.

Sea el escalar dual ẑ = (φ, d) que define un ángulo dual, entonces las definiciones de series infinitas de seno y coseno producen las relaciones

${\displaystyle \sin {\hat {z}}=\sin \phi +d\cos \phi ,\,\,\,\cos {\hat {z}}=\cos \phi -d\sin \phi .\!}$

En general, la función de una variable dual se define como f(ẑ) = (f(φ), df′(φ)), donde f′(φ) es la derivada de f(φ).

Estas definiciones permiten obtener los siguientes resultados:

• Los torsores unitarios son las coordenadas plückerianas de una recta y satisfacen la relación

${\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;}$

• Sea ẑ = (φ, d) el ángulo dual, donde φ es el ángulo entre los ejes de S y T alrededor de su normal común, y d es la distancia entre estos ejes respecto a la normal común, entonces

${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=|{\mathsf {S}}||{\mathsf {T}}|\cos {\hat {z}};}$

• Sea N el torsor unitario que define la normal común a los ejes de S y T, y ẑ = (φ, d) es el ángulo dual entre estos ejes, entonces

${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=|{\mathsf {S}}||{\mathsf {T}}|\sin {\hat {z}}{\mathsf {N}}.}$

Torsor estático

Un ejemplo común de un torsor es el torsor estático asociado con una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido. Sea P el punto de aplicación de la fuerza F y sea P el vector que ubique este punto en un marco fijo. El torsor cinemático W = (F, P × F) es un torsor. La fuerza y el momento resultantes obtenidos de todas las fuerzas F_i i = 1, ..., n, actuando sobre un cuerpo rígido es simplemente la suma de los torsores cinemáticos individuales W_i, es decir

${\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Obsérvese que el caso de dos fuerzas iguales pero opuestas F' y -F que actúan en los puntos A y B, respectivamente, produce el resultado

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

Esto demuestra que los torsores de la forma

${\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),}$

se pueden interpretar como momentos puros.

Torsor cinemático

Para definir el torsor cinemático de un cuerpo rígido, se debe considerar su movimiento definido por el conjunto parametrizado de desplazamientos espaciales, D(t) = ([A(t)], d'(t)), donde [A] es una matriz de rotación y d es un vector de traslación. Esto genera un punto p que se asocia a las coordenadas del cuerpo en movimiento para trazar una curva P(t) en el marco fijo dado por

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).}$

La velocidad de P es

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

donde v es la velocidad del origen del marco en movimiento, que es dd/dt. Ahora sustituyendo p=[A^T] (P-d) en esta ecuación, se obtiene

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\mbox{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

donde [Ω] = [dA/dt] [A^T] es la matriz de velocidad angular y ω es el vector de velocidad angular.

El torsor

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!}$

es el torsor cinemático del cuerpo en movimiento. El vector V = v + dxω es la velocidad del punto en el cuerpo que corresponde con el origen del marco fijo.

Hay dos casos especiales importantes: (i) cuando d es constante, es decir v = 0, entonces el torsor cinemático es una rotación pura alrededor de una línea, entonces el torsor cinemático es

${\displaystyle {\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),}$

y (ii) cuando [Ω] = 0, es decir, el cuerpo no gira sino que solo se desliza en la dirección v, entonces el torsor cinemático es un deslizamiento puro dado por

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}$

Transformación de coordenadas

Las transformaciones de coordenadas para los torsores se entienden fácilmente a partir de las transformaciones de coordenadas plückerianas del vector de una recta, que a su vez se obtienen de las transformaciones de las coordenadas de puntos de la recta.

Considérese que el desplazamiento de un cuerpo está definido por D=([A], d), donde [A] es la matriz de rotación y d es el vector de traslación. La recta en el cuerpo definida por los dos puntos p y q, tiene las coordenadas plückerianas

${\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),}$

Entonces, en el marco fijo, se obtienen las coordenadas del punto transformado P = [A] p + d y Q = [A] q + d, que producen

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

Por lo tanto, un desplazamiento espacial define una transformación para las coordenadas plückerianas de las rectas dadas por

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

La matriz [D] es la matriz simétrica oblicua que realiza la operación del producto cruzado, es decir [D]y=dxy.

La matriz de orden 6×6 obtenida a partir del desplazamiento espacial D = ([A], d) se puede ensamblar en la matriz dual

${\displaystyle [{\hat {A}}]=([A],[DA]),}$

que opera en un torsor s = (s.v) para obtener

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {A}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

La matriz dual [Â] = ([A], [DA]) tiene determinante 1 y se denomina matriz ortogonal dual.

Torsores como elementos de un álgebra de Lie

Considérese el movimiento de un cuerpo rígido definido por la transformada homogénea parametrizada de orden 4x4,

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Esta notación no distingue entre P = (X, Y, Z, 1), y P = (X, Y, Z), algo esperable en este contexto.

La velocidad de este movimiento se define al calcular la velocidad de las trayectorias de los puntos en el cuerpo,

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

El punto denota la derivada con respecto al tiempo, y debido a que p es constante, su derivada es cero.

Sustituyendo la transformada inversa de p en la ecuación de velocidad, se obtiene la velocidad de P operando en su trayectoria P(t), es decir

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

donde

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

Se debe recordar que [Ω] es la matriz de velocidad angular, y que la matriz [S] es un elemento del álgebra de Lie se(3) del grupo de Lie SE(3) de transformaciones homogéneas. Los componentes de [S] son los componentes del torsor cinemático y por esta razón [S] a menudo también se llama giro.

A partir de la definición de la matriz [S], se puede formular la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}$

y hallar el movimiento [T (t)] que tiene un torsor cinemático constante [S]. La solución es la matriz exponencial

${\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

Esta formulación puede generalizarse de manera tal que, dada una configuración inicial g(0) en SE(n), y un torsor cinématico ξ en se(n), la transformación homogénea a una nueva ubicación y orientación se puede calcular con la fórmula

${\displaystyle g\left(\theta \right)=\exp(\xi \theta )g\left(0\right),}$

donde θ representa los parámetros de la transformación.

Torsores por reflexión

En la geometría de las transformaciones, un concepto elemental de transformación es el de reflexión. En las transformaciones planas, una traslación se obtiene por reflexiones respecto a dos rectas paralelas, y la rotación se obtiene por reflexión en un par de rectas que se cruzan. Para producir una transformación de torsor a partir de conceptos similares, se deben usar planos en el espacio: los planos paralelos deben ser perpendiculares al eje helicoidal, que es la línea de intersección de los planos de intersección que generan la rotación del torsor. Así, cuatro reflexiones en planos efectúan una transformación de torsor. La tradición de la geometría inversiva toma prestadas algunas de las ideas de la geometría proyectiva y proporciona un lenguaje de transformación que no depende de la geometría analítica.

Homografía

La combinación de una traslación con una rotación efectuada por un desplazamiento de torsor se puede ilustrar con la aplicación exponencial. Esta idea en la geometría de la transformación fue adelantada por Sophus Lie hace más de un siglo. Incluso antes, William Rowan Hamilton mostraba la forma del versor en los cuaterniones unitarios como exp(a r) = cos a + r sin a. La idea también aparece en la fórmula de Euler, parametrizando la circunferencia goniométrica en el plano complejo.

Dado que ε² = 0 para los números duales, exp(a ε) = 1 + a ε, y todos los demás términos de la serie exponencial se desvanecen.

Sea F = {1 + ε r: r ∈ H}, ε² = 0. Téngase en cuenta que F es estable bajo rotación q → p⁻¹ q p y bajo la traslación (1 + ε r) (1 + ε s) = 1 + ε (r + s) para cualquier cuaternión de vectores r y s.

F es un 3-plano en el espacio de ocho dimensiones de los cuaterniones duales. Esta F de 3 planos representa el espacio tridimensional, y la homografía construida, restringida a F, es un desplazamiento de torsor en el espacio.

Sea a la mitad del ángulo del torsor cinemático deseado alrededor del eje r, y b r la mitad del desplazamiento en el eje helicoidal. Fórmese z = exp((a + b ε) r) y z* = exp((a -b ε) r). Ahora, la homografía es

${\displaystyle U(q,1){\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=U(qz,z^{*})\thicksim U((z^{*})^{-1}qz,1).}$

El inverso de z* es ${\displaystyle 1/(\exp(ar-b\epsilon r))=}$

${\displaystyle (e^{ar}e^{-br\epsilon })^{-1}=}$

${\displaystyle e^{br\epsilon }e^{-ar},}$

así, la homografía hace corresponder q a

${\displaystyle (e^{b\epsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\epsilon r})=e^{b\epsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\epsilon r}=e^{2b\epsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

Ahora, para cualquier vector del cuaternión p, p* = -p, se llega a q = 1 + p ε ∈ F, donde se realizan la rotación y la traslación requeridas.

William Kingdon Clifford inició el uso de dos cuaterniones en la cinemática, seguido de Eduard Study en su "Geometrie der Dynamen". Sin embargo, el punto de vista de Sophus Lie ha prevalecido. En 1940, Julian Coolidge describió el uso de cuaterniones duales para los desplazamientos de torsor en la página 261 de "A History of the Geomethric Methods" (Una historia de los métodos geométricos), señala la contribución de Arthur Buchheim. Coolidge en 1885 basó su descripción simplemente en las herramientas que Hamilton había utilizado para los cuaterniones reales.

Evidentemente, la unidad del anillo de cuaterniones duales es un grupo de Lie. Un subgrupo tiene un álgebra de Lie generada por los parámetros a r y b s, donde a, b ∈ R, y r, s ∈ H. Estos seis parámetros generan un subgrupo de unidades, la esfera unidad. Por supuesto, incluye a F y la 3-esfera de versores.

Trabajo de fuerzas actuando sobre un cuerpo rígido

Considérese el conjunto de fuerzas F ₁, F₂... F_n actuando sobre los puntos X₁, X₂ ... X_n de un cuerpo rígido. Las trayectorias de X _i, i = 1, ..., n se definen por el movimiento del cuerpo rígido con la rotación [A(t)] y la traslación d(t) de un punto de referencia en el cuerpo, dado por

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

donde x_i son coordenadas en el cuerpo en movimiento.

La velocidad de cada punto X_i es

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

donde ω es el vector de velocidad angular y v es la derivada de d(t).

El trabajo de las fuerzas sobre el desplazamiento δr_i = v_iδt de cada punto está dado por

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

Se definen las velocidades de cada punto en términos del torsor cinemático del cuerpo en movimiento para obtener

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

Expandiendo esta ecuación y agrupando los coeficientes de ω y v, se obtiene

${\displaystyle \delta W=(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i})\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i})\cdot \mathbf {v} \delta t+(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i})\cdot {\vec {\omega }}\delta t=(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i})\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i})\cdot {\vec {\omega }}\delta t.}$

Introduciendo el torsor cinemático del cuerpo en movimiento y el torsor estático que actúa sobre él, dado por

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i})=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

entonces el trabajo toma la forma

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

La matriz de oren 6x6 [Π] se utiliza para simplificar el cálculo del trabajo con torsores, de modo que

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}$

donde

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}$

e [I] es la matriz identidad de orden 3x3.

Véase también

• Eje helicoidal
• Ecuaciones de Newton-Euler, que utilizan torsores para describir los movimientos rígidos del cuerpo y sus cargas
• Trigonometría racional

Referencias

Enlaces externos

• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Departamento de Diseño e Innovación, Open University, Londres.
• Notas de Ravi Banavar en Robótica, Geometría y Control Archivado el 29 de agosto de 2017 en Wayback Machine.