Algtingimus

Hariliku diferentsiaalvõrrandi algtingimus ütleb, milline väärtus peab otsitaval lahendil ja võib-olla selle tuletisel või tuletistel teatud kohal olema.

Praktiselt igal diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju lahendeid. Algtingimus teeb nende lahendite seast valiku. Mõnikord täidab algtingimust mitu lahendit, mõnikord üksainus, mõnikord mitte ükski.

Algväärtuse lisamisel diferentsiaalvõrrandile tekib algväärtusülesanne. Eriti põnev küsimus on seejuures, missugune peab antud diferentsiaalvõrrandi algtingimus olema, et tekkival algväärtusülesandel oleks parajasti üks lahend.

Praktiline tähtsus

Kui diferentsiaalvõrrand kirjeldab protsessi, näiteks eseme liikumist ruumis, siis määrab algtingimus kindlaks, millises olekus liikumine algab, näiteks kus ese alguses asub.

Küsimus, missugune algtingimus saab välja eraldada ühese lahendi, tähendab siis: mida ma pean süsteemi oleviku kohta teadma, et ma saaksin selle ajaloolist arengut täielikult rekonstrueerida ja selle tulevikku täielikult ennustada?

Algtingimus matemaatilises mõttes ei pea tingimata käima ajalise või ruumilise alguspunkti kohta. Seda, mida tavakeeles nimetatakse lõpptingimuseks või vaheolekuks, nimetatakse matemaatikas samuti algtingimuseks.

Näide

Vaba langemist (näiteks õuna langemist puult) kirjeldatakse liikumisvõrrandiga

${\displaystyle {\begin{aligned}y''(t)&=-g\\\Rightarrow y'(t)&=-g\cdot t+v_{0}\end{aligned}}}$,

kus konstant ${\displaystyle g\approx 9{,}81~\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}$ (raskuskiirendus).

Selle diferentsiaalvõrrandi lahendite hulk koosneb alguses kõikidest funktsioonidest kujul

${\displaystyle \Rightarrow y(t)=-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}\cdot t+y_{0},}$

kus ${\displaystyle y_{0}}$ ja ${\displaystyle v_{0}}$ on suvalised integreerimiskonstandid.

Üks võimalik algtingimus ütleb näiteks, et õun ripub liikumise alguses oksal kolme meetri kõrgusel:

${\displaystyle y(0)=y_{0}=3~\mathrm {m} }$

ja seisab paigal:

${\displaystyle y'(0)=v_{0}=0~\mathrm {m} /\mathrm {s} }$.

Üldistus

Osatuletistega diferentsiaalvõrrandite puhul, st kui otsitav funktsioon on mitme muutuja funktsioon, kasutatakse sageli algtingimuste asemel rajatingimusi. Mõnikord nimetatakse siis rajatingimuse erijuhtu, mille määramispiirkond moodustab diferentsiaavõrrandi kogu määramispiirkonnas hüpertasandi, algtingimuseks.

Märkused