Astmehulk

Astmehulk ehk potentshulk on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga $S$ kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk $S$ ise).

Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk.

Hulga $S$ astmehulka tähistatakse kujul $𝒫(S)$ , $P (S)$ , $ℙ (S)$ , $℘ (S)$ või $2 S$ . Tähis $2 S$ tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast $S$ mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks ${0, 1}$ ); seda kasutatakse sellepärast, et hulga $S$ astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas.

Näide

Kui $S$ on hulk ${x, y, z}$ , siis kõik $S$ -i alamhulgad on:

${}$ (märgitud ka kui $\emptyset$ või $∅︀$ , tühi hulk või nullhulk)
${x}$
${y}$
${z}$
${x, y}$
${x, z}$
${y, z}$
${x, y, z}$

Seega on hulga $S$ astmehulk ${{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}$

Omadused

Kui $S$ on lõplik hulk võimsusega $| S | = n$ (hulga $S$ elementide arv on $n$ ), siis on hulga $S$ kõigi alamhulkade arv $| ℙ (S) | = 2^{n}$ .

Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise.

Hulga $S$ astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast.

Seos indikaatorfunktsiooniga

Indikaatorfunktsioon hulga $S$ alamhulga $A$ puhul on funktsioon hulgast $S$ kahe elemendiga hulka ${0, 1}$ , mida tähistatakse kui $I_{A} : S \to {0, 1}$ . Selline funktsioon näitab seda, kas hulga $S$ element kuulub alamhulka $A$ või mitte. Kui hulga $S$ element $x$ kuulub alamhulka $A$ , siis $I_{A} (x) = 1$ , ning muul juhul $0$ . Iga hulga $S$ alamhulga $A$ puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon $I_{A}$ . Kirjapilt $X^{Y}$ tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast $Y$ hulka $X$ . Hulk ${0, 1}^{S}$ , mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast $S$ hulka ${0, 1}$ , koosneb kõigi hulga $S$ alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on ${0, 1}^{S}$ vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga $ℙ (S)$ . Kuna iga element hulgast $S$ vastab kas arvule $0$ või $1$ mistahes funktsiooni puhul hulgast ${0, 1}^{S}$ , omab see funktsioonide hulk võimsust $2^{n}$ . Kuna arv $2$ võib olla hulgateoorias defineeritud kui ${0, 1}$ (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse $ℙ (S)$ ka kui $2^{S}$ . Seega on samuti tõene, et $| 2^{S} | = 2^{| S |}$ .

Viited

1 2 3 Weisstein
↑ Devlin 1979, lk 50

Kirjandus

Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97710-4
Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.
Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com (inglise). Originaali arhiivikoopia seisuga 6. aprill 2023. Vaadatud 5. septembril 2020.

[FOOTNOTEWeisstein-1] 1 2 3 Weisstein

[FOOTNOTEDevlin197950-2] Devlin 1979, lk 50