Diagonaalne maatriks

Diagonaalne maatriks on ruutmaatriks, milles võivad nullist (või nullelemendist) erineda vaid peadiagonaalil paiknevad elemendid.

n-järku diagonaalset maatriksit tähistatakse diag(a₁,...,a_n), kus a₁,...,a_n tähistavad peadiagonaali elemente. Näiteks

${\displaystyle {\text{diag}}(1,7,-2)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&7&0\\0&0&-2\\\end{pmatrix}}}$

Diagonaalne maatriks on sümmeetriline maatriks.

Kõik ühikmaatriksid I_n, ruut-nullmaatriksid ja 1-järku ruutmaatriksid on diagonaalsed.

Diagonaalset maatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed, nimetatakse skalaarmaatriksiks. Iga skalaarmaatriks on esitav kujul λI_n, ning selle maatriksiga korrutamine on identne skalaari λ-ga korrutamisega.

Tehted diagonaalsete maatriksitega

Paljud tehted diagonaalsete maatriksitega on tunduvalt lihtsamad kui üldiste maatriksitega. Liitmine ja korrutamine toimub vastavalt kui

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

Diagonaalne maatriks diag(a₁,...,a_n) on regulaarne parajasti siis, kui kõik arvud a₁,...,a_n erinevad nullist. Sel juhul saab leida pöördmaatriksi

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

Diagonaalse maatriksi determinant on peadiagonaali elementide korrutis

det(diag(a₁,a₂,...,a_n)) = a₁a₂...a_n.

Rakendused

Maatriksit A, mis on sarnane diagonaalse maatriksiga D (st leidub maatriks X, et A = XDX^-1), nimetatakse diagonaliseeritavaks. Kui maatriksi A diagonaalne kuju D on teada, lihtsustuvad paljud arvutused tunduvalt.

Vaata ka

• Maatriks

Viited