Ellipsoidi

Ellipsoidilla tarkoitetaan kappaletta, jonka poikkileikkaus missä tahansa tasossa on ellipsi.

Jos ellipsoidin keskipiste on pisteessä (0,0,0) eli origossa ja akselit ovat koordinaattiakselin suuntaiset, on ellipsoidin yhtälö xyz-koordinaatistossa

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\!}$ , jossa ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$.

Luvut ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ja ${\displaystyle c}$ ovat ellipsoidin puoliakselien pituudet.

Ellipsoidin erikoistapaus pyörähdysellipsoidi syntyy, kun ellipsi pyörähtää jonkin akselinsa ympäri. Jos ellipsi pyörähtää esimerkiksi x-akselin ympäri, kappaleen poikkileikkaus tasossa yz on ympyrä, jonka säde ${\displaystyle r=b=c}$.

Tilavuus

Ellipsoidin tilavuus saadaan kaavalla

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!}$

Pinta-ala

Ellipsoidin pinta-ala saadaan kaavalla

${\displaystyle A=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(O\!\!E,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(O\!\!E,m)\right),\,\!}$

jossa ${\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}\,\!}$ ja ${\displaystyle F(O\!\!E,m)\,\!}$, ${\displaystyle E(O\!\!E,m)\,\!}$ ovat ensimmäisen ja toisen asteen epätäydellisiä elliptisiä integraaleja.

Likimääräinen arvo saadaan kaavalla:

${\displaystyle A\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}.\,\!}$

missä arvolla ${\displaystyle p=1,6075}$ saadaan suhteellinen virhe, joka on korkeintaan 1,061 % (Knud Thomsenin kaava); arvo p = 8/5 = 1,6 on optimaalinen lähes pallomaisille ellipsoideille, suhteellinen virhe on tällöin korkeintaan 1,178 % (David W. Cantrellin kaava).

Lähteet