Eulerin identiteetti

Eulerin identiteetti on kompleksianalyysissä Eulerin lauseella saatu yhtälö

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!,}$

jossa

${\displaystyle e\,\!}$ on Neperin luku,

${\displaystyle i\,\!}$ on imaginaariyksikkö ja

${\displaystyle \pi \,\!}$ on pii.

Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi, koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja kompleksiluvut. Kaavassa on myös yhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.

Määrittäminen

Eulerin lause on seuraavanlainen:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.\,\!}$

Lause on pätevä kaikille reaaliluvuille x. Kulma x on radiaaneina.

Jos nyt asetetaan

${\displaystyle x=\pi \,\!}$,

niin

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}$

Koska

${\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}$

ja

${\displaystyle \sin \pi =0,\,\!}$

seuraa, että

${\displaystyle e^{i\pi }=-1,\,\!}$

josta saadaan Eulerin identiteetti

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Q.E.D.

Lähteet

Aiheesta muualla

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653. ("Luku 21, Eulerin aika") Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6