Injektio

Matematiikassa injektio on kuvaus, jossa mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle.

Määritelmä

Kuvaus ${\displaystyle f:\,X\to Y}$ on injektio, jos kaikilla ${\displaystyle a,b\in X}$, ${\displaystyle a\neq b}$ on voimassa ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$.

Symbolisesti, ehto voidaan lausua:

${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)}$

Loogisesti, kontraposition kautta sama voidaan lausua:

${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b}$

Esimerkkejä

Funktio f: R → R, f(x) = 2x + 1, on injektio.

Kun taas funktio g: R → R, g(x) = x², ei ole injektio, koska g(1) = 1 = g(−1).

Jos x rajoitetaan positiivisiin reaalilukuihin, myös g on injektio.

Jos joukko A on joukon B osajoukko, on olemassa kuvaus f: A → B, jossa f(x) = x kaikilla ${\displaystyle x\in A}$. Tätä sanotaan kanoniseksi injektioksi.

Katso myös

• Bijektio
• Surjektio

Lähteet

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0
• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0