Jaollisuus

Olkoot a ja b kokonaislukuja. Jos a = bc jollakin kokonaisluvulla c, niin sanotaan, että a on jaollinen b:llä tai b jakaa a:n. Algebrassa tälle käytetään merkintää ${\displaystyle b\mid a}$.

Jaollisuussäännöt

Jokainen positiivinen kokonaisluku (eli positiivinen luonnollinen luku) on jaollinen ykkösellä ja itsellään. Jos luku ei ole jaollinen yhdelläkään muulla positiivisella luvulla, kutsutaan sitä alkuluvuksi. Edelliset ehdot toteutuvat triviaalisti ykkösellä, jota ei kuitenkaan huolita alkuluvuksi. Sen sijaan luvut kaksi ja kolme ovat alkulukuja. Luku neljä on ensimmäinen jaollinen kokonaisluku.

Luvun jaollisuutta toisella luvulla voi nähdä kymmenjärjestelmän esitystavasta esimerkiksi seuraavilla tavoilla. Luku on jaollinen:

• kahdella, jos se päättyy numeroon 0, 2, 4, 6 tai 8.
• kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella.
• neljällä, jos sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen neljällä.
• viidellä, jos se päättyy numeroon 0 tai 5.
• kuudella, jos se on jaollinen sekä kahdella että kolmella.
• seitsemällä, jos luvun viimeinen numero kerrotaan kahdella, tämä vähennetään jäljelle jääneestä alkuperäisestä luvusta ja saatu erotus on jaollinen seitsemällä.
• kahdeksalla, jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen kahdeksalla.
• yhdeksällä, jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä.
• kymmenellä, jos se päättyy numeroon 0.
• yhdellätoista, jos numeroiden algebrallinen summa, jossa numerot lasketaan yhteen lopusta alkaen siten, että niiden etumerkit vuorottelevat (aloittaen positiivisesta luvusta), on jaollinen 11:llä.
• 12:lla, jos se on jaollinen sekä kolmella että neljällä
• 15:llä, jos se on jaollinen sekä viidellä että kolmella
• 16:lla, jos sen neljän viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen 16:lla

Esimerkkejä

• 2|4, eli 4 on jaollinen 2:lla, koska 4/2 = 2.
• n|0, eli 0 on jaollinen millä tahansa nollasta eroavalla luvulla, koska 0/n = 0.
• 7|1435, eli 1435 on jaollinen 7:llä, koska 143 − 5 ${\displaystyle \cdot }$ 2 = 133 ja tästä 13 − 3 ${\displaystyle \cdot }$ 2 = 7.
• 11|4807, eli 4807 on jaollinen 11:llä, koska +7−0+8−4=11.

Luvun jakajia sanotaan tekijöiksi.

Esimerkiksi 2 on 4:n tekijä, 4 = 2 ${\displaystyle \cdot }$ 2 = 2², ja 7 on 14:n tekijä, 14 = 2 ${\displaystyle \cdot }$ 7.

Jos luku a ei ole jaollinen luvulla b, jakolaskusta a/b jää jäljelle jakojäännöstä, ts. a / b = c + r / b, ts a = cb + r.

Ominaisuuksia

Jaollisuudella on seuraavia ominaisuuksia:

• Jos ${\displaystyle b\mid a}$ ja ${\displaystyle c\mid b}$, niin ${\displaystyle c\mid a}$
• Jos ${\displaystyle b\mid a}$, niin ${\displaystyle b\cdot m\mid a\cdot m}$
• Jos ${\displaystyle c\mid a}$ ja ${\displaystyle c\mid b}$, niin ${\displaystyle c\mid (a\cdot m+b\cdot n)}$.

Lähteet

• Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4 Teoksen verkkoversio. (englanniksi)