Juurifunktio

Juurifunktio on muuttujan $x\!$ matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä

f\colon x\mapsto ax^{\frac {1}{n}}\qquad a\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {Z}

missä $x^{\frac {1}{n}}$ on potenssi ja yksikkömurtoluku ${\tfrac {1}{n}}\!$ sen eksponentti. Eksponentissa luku $n$ kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä

f(x)=ax^{\frac {1}{n}}=a{\sqrt[{n}]{x}}\qquad a\in \mathbb {R}

Juurifunktion ominaisuuksia

Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli $x\geq 0$ laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste $n$ on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu $x\geq 0$ , mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla $(-2)^{3}=-8\Leftrightarrow {\sqrt[{3}]{-8}}=-2.$ On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on $-8:$ $\{-2,1+i{\sqrt {3}},1-i{\sqrt {3}}\}$ . Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen $-2,1+i{\sqrt {3}},1-i{\sqrt {3}}$ napakulmat ovat $\pi ,{\frac {\pi }{3}},-{\frac {\pi }{3}}$ vastaavasti ja siksi lausekkeen ${\sqrt[{3}]{-8}}$ arvoksi valitaan $1+i{\sqrt {3}}$ .

Parillisuus ja parittomuus

Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla ${\sqrt {x}},$ ${\sqrt[{3}]{x}},$ ${\sqrt[{5}]{x}},\dots$ määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita.

Monotonisuus

Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.

Käänteisfunktiot

Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja $n\in \mathbb {N} :n=2,3,4,...$ . Neliöjuurifunktion $f(x)={\sqrt {x}},\ x\geq 0$ käänteisfunktio $f^{-1}(x)$ on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio $f^{-1}(x)=x^{2},\ x\geq 0.$ Kuutiojuurifunktion $f(x)={\sqrt[{3}]{x}},\ x\in \mathbb {R}$ käänteisfunktio on $f^{-1}(x)=x^{3},\ x\in \mathbb {R} .$

Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla $2n$

f(x)={\sqrt[{2n}]{x}},\ x\geq 0\rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n},\ x\geq 0

ja parittomilla asteilla $2n+1$

f(x)={\sqrt[{2n+1}]{x}},\ x\in \mathbb {R} \rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n+1},\ x\in \mathbb {R} .

Derivointi ja integrointi

Yleinen potenssien derivaatta, kun $r\in \mathbb {R}$ lasketaan

Dx^{r}=rx^{r-1}.

Kun juurifunktion aste on $n$ , tulee derivaataksi

D{\sqrt[{n}]{x}}=Dx^{\tfrac {1}{n}}={\frac {1}{n}}x^{{\tfrac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n}}x^{-{\tfrac {n-1}{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}

tai vaihtoehtoisesti

D{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n}}x^{-{\tfrac {n-1}{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x^{\tfrac {n-1}{n}}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x^{1-{\tfrac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}{\frac {\sqrt[{n}]{x}}{x}}.

Neliöjuuren derivaatta on siten

D{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

ja kuutiojuuren derivaatta

D{\sqrt[{3}]{x}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x}}^{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{3x}}

ja neljäsjuuren derivaatta

D{\sqrt[{4}]{x}}={\frac {1}{4{\sqrt[{4}]{x}}^{3}}}={\frac {\sqrt[{4}]{x}}{4x}}.

n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan

\int x^{r}dx={\frac {1}{r+1}}x^{r+1}+C\!

eli

\int x^{\tfrac {1}{n}}\ dx={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{n}}}}x^{1+{\tfrac {1}{n}}}+C\!={\frac {n}{n+1}}x^{\tfrac {n+1}{n}}+C\!={\frac {n}{n+1}}x{\sqrt[{n}]{x}}+C

Silloin neliöjuuren integraali on

\int {\sqrt {x}}\ dx={\frac {2}{3}}x^{\tfrac {3}{2}}+C={\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+C.

ja kuutiojuuren integraali

\int {\sqrt[{3}]{x}}\ dx={\frac {3}{4}}x^{\tfrac {4}{3}}+C={\frac {3}{4}}x{\sqrt[{3}]{x}}+C

Kompleksiluvut

Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja $z\in \mathbb {C}$ . De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun $z$ reaalilukuinen potenssi $p$ esitetään polaarisessa muodossa

z^{p}=[r(\cos \theta +i\sin \theta )]^{p}=r^{p}(\cos p\theta +i\sin p\theta ),

voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi $p={\tfrac {1}{n}}$

z^{\tfrac {1}{n}}=[r(\cos \theta +i\sin \theta )]^{\tfrac {1}{n}}=r^{\tfrac {1}{n}}(\cos {\tfrac {\theta +2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {\theta +2k\pi }{n}}),

kun $k=0,1,2,...,n-1.$

Neliöjuuri

Neliöjuurelle ${\sqrt {z}}$ saadaan kaksi arvoa, kun $k=0$ ja $1.$

Ensimmäinen juuri on arvoltaan $r^{\tfrac {1}{2}}(\cos {\tfrac {\theta +2\cdot 0\cdot \pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\cdot 0\cdot \pi }{2}})={\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta }{2}})$

ja toinen $r^{\tfrac {1}{2}}(\cos {\tfrac {\theta +2\cdot 1\cdot \pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\cdot 1\cdot \pi }{2}})={\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{2}})$

eli ${\sqrt {z}}=\{{\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta }{2}}),{\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{2}})\}$

Esimerkki neliöjuurella

Jos lasketaan kompleksiluvun $z=1+i{\sqrt {3}}$ neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on $r={\sqrt {1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}=2$ ja napakulma $\tan \theta ={\tfrac {\sqrt {3}}{1}}={\sqrt {3}}$ eli $\theta =60^{\circ }.$ Siten $z=1+i{\sqrt {3}}=2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })=2({\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}).$ Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa

{\sqrt {z}}={\sqrt {1+i{\sqrt {3}}}}=\{{\sqrt {2}}(\cos {\tfrac {60^{\circ }}{2}}+i\sin {\tfrac {60^{\circ }}{2}}),{\sqrt {2}}(\cos {\tfrac {60^{\circ }+360^{\circ }}{2}}+i\sin {\tfrac {60^{\circ }+360^{\circ }}{2}})\}

=\{{\sqrt {2}}(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }),{\sqrt {2}}(\cos 210^{\circ }+i\sin 210^{\circ })\}=\{{\sqrt {2}}({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i),{\sqrt {2}}(-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\}=\{{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}i,-{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i\}

Kuutiojuuri

Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun $k=0,1,2.$

{\sqrt[{3}]{z}}=\{{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta }{3}}),{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{3}}),{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +4\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta +4\pi }{3}})\}

Neljäsjuuri

Neljäs antaa neljä arvoa, kun $k=0,1,2,3.$ ${\sqrt[{4}]{z}}=\{{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +4\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +4\pi }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +6\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +6\pi }{4}})\}$

Katso myös

Lähteet

Weisstein, Eric W.: Cube Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Viitteet

↑ Kivelä, Simo K.: Lukiotason matematiikan tietosanakirja (html) (Juurifunktion määritelmän laajennus) 2001. Helsinki: Teknillinen korkeakoulu.
↑ Jyväskylän Yliopisto: Juurifunktio
1 2 Weisstein, Eric W.: Square Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Weisstein, Eric W.: Power (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
1 2 Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)

Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) 2015. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

Etälukio: Juurifunktio (Arkistoitu – Internet Archive)
Jyväskylän Yliopisto: Potenssi- ja juurifunktiot sekä rationaalipotenssit

[jyv2-1] Kivelä, Simo K.: Lukiotason matematiikan tietosanakirja (html) (Juurifunktion määritelmän laajennus) 2001. Helsinki: Teknillinen korkeakoulu.

[jyv1-2] Jyväskylän Yliopisto: Juurifunktio

[sqrt-3] 1 2 Weisstein, Eric W.: Square Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[power-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Weisstein, Eric W.: Power (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[hb-5] 1 2 Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)