Konsistenssi

Konsistenssi eli looginen ristiriidattomuus on matemaattisen logiikan käsite. Looginen teoria on konsistentti eli ristiriidaton, jos siitä ei voi johtaa ristiriitaa. Teoria on siis epäkonsistentti eli ristiriitainen jos ja vain jos on olemassa sellainen kaava P, että kyseisestä teoriasta voi johtaa sekä kaavan P että kaavan ei-P.

Teoriaa sanotaan toteutuvaksi (engl. satisfiable), jos sillä on malli. Joskus konsistenssilla tarkoitetaan toteutuvuutta ("semanttinen määritelmä"), useimmiten ylempänä määriteltyä ristiriidattomuutta ("syntaktinen määritelmä").

Looginen teoria on täydellinen, jos jokaiselle sen termein muodostetulle kaavalle P pätee: P tai ei-P voidaan todistaa (siis ainakin toinen). Teoria on siis täydellinen jos ja vain jos kaikki sen kaavat voidaan todistaa "oikeiksi (ja/)tai vääriksi". Siis jos kaikille teorian piiriin kuuluville kaavoille P pätee: "P voidaan todistaa tai ei-P voidaan todistaa muttei molempia", teoria on sekä täydellinen että ristiriidaton.

Predikaattikalkyylin täydellisyyden todisti Kurt Gödel vuonna 1930. Muun muassa toisen kertaluvun logiikka ei ole täydellinen.

Gödelin epätäydellisyyslause (1931) osoitti, ettei mikään "riittävän ilmaisuvoimainen" (täydellinen ja luonnolliset luvut sisältävä) ristiriidaton aksioomajärjestelmä voi koskaan osoittaa omaa ristiriidattomuuttaan. Tämä romutti Hilbertin ohjelman "matematiikan perustan" löytämisestä (aksiomaattinen järjestelmä, joka yksin kattaisi kaiken matematiikan).

Katso myös

Lähteet

"Consistency", The Cambridge Dictionary of Philosophy.
Ebbinghaus, H. D. & Flum, J. & Thomas, W.: Mathematical Logic
Heijenoort, Jean van: From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
Jevons, W. S.: Elementary Lessons in Logic, 1870.
Kleene, Stephen: Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterday, New York, 1952 (10. painos 1991). ISBN 0 7204 21039.
Reichenbach, Hans: Elements of Symbolic Logic, Dover Publications, Inc. New York, 1947. ISBN 0-486-24004-5,
Tarski, Alfred: Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Second Edition, Dover Publications, 1946. Inc., New York, ISBN 0-486-28462-X.

Viitteet

↑ Tarski määrittelee: "A deductive theory is called CONSISTENT or NON-CONTRADICTORY if no two asserted statements of this theory contradict each other, or in other words, if of any two contradictory sentences . . . at least one cannot be proved" (Tarski 1946, s. 135); edelleen Tarski määrittelee termin contradictory seuraavasti: "With the help of the word not one forms the NEGATION of any sentence; two sentences, of which the first is a negation of the second, are called CONTRADICTORY SENTENCES" (Tarski 1946, s. 20). This definition requires a notion of "proof". Gödel määrittelee: "The class of provable formulas is defined to be the smallest class of formulas that contains the axioms and is closed under the relation "immediate consequence", i.e. formula c of a and b is defined as an immediate consequence in terms of modus ponens or substitution" (Gödel 1931; van Heijenoort 1967, s. 601). Tarski määrittelee termin "proof" seuraavasti: "statements follow one another in a definite order according to certain principles . . . and accompanied by considerations intended to establish their validity [true conclusion for all true premises]" (Tarski 1946, s. 3; Reichenbach 1947, s. 68). Kleene määrittelee: "A proof is said to be a proof of its last formula, and this formula is said to be (formally) provable or be a (formal) theorem" (Kleene 1952, s. 83).
↑ Mattila, Jorma K.: Diskreetit mallit ja menetelmät (Määritelmä 5.3.8., sivu 41) Lappeenrannan teknillinen yliopisto, Sovelletun matematiikan laitos. Arkistoitu 22.1.2022. Viitattu 9.11.2010.
↑ Tarski määrittelee: "A theory is called COMPLETE, on the other hand, if of any two contradictry sentences formulated exclusively in terms of the theory under consideration (and the theories preceding it) at least one sentence can be proved in this theory. Of a sentence which has the property that its negation can be proved in a given theory, it is usually said that it can be DISPROVED in that theory . . . a theory is complete . . . if every sentence formualted in the terms of this theory can be proved or disproved in it" (Tarski 1946, s. 135).
↑ van Heijenoort 1967, s. 582ff.

[1] Tarski määrittelee: "A deductive theory is called CONSISTENT or NON-CONTRADICTORY if no two asserted statements of this theory contradict each other, or in other words, if of any two contradictory sentences . . . at least one cannot be proved" (Tarski 1946, s. 135); edelleen Tarski määrittelee termin contradictory seuraavasti: "With the help of the word not one forms the NEGATION of any sentence; two sentences, of which the first is a negation of the second, are called CONTRADICTORY SENTENCES" (Tarski 1946, s. 20). This definition requires a notion of "proof". Gödel määrittelee: "The class of provable formulas is defined to be the smallest class of formulas that contains the axioms and is closed under the relation "immediate consequence", i.e. formula c of a and b is defined as an immediate consequence in terms of modus ponens or substitution" (Gödel 1931; van Heijenoort 1967, s. 601). Tarski määrittelee termin "proof" seuraavasti: "statements follow one another in a definite order according to certain principles . . . and accompanied by considerations intended to establish their validity [true conclusion for all true premises]" (Tarski 1946, s. 3; Reichenbach 1947, s. 68). Kleene määrittelee: "A proof is said to be a proof of its last formula, and this formula is said to be (formally) provable or be a (formal) theorem" (Kleene 1952, s. 83).

[2] Mattila, Jorma K.: Diskreetit mallit ja menetelmät (Määritelmä 5.3.8., sivu 41) Lappeenrannan teknillinen yliopisto, Sovelletun matematiikan laitos. Arkistoitu 22.1.2022. Viitattu 9.11.2010.

[3] Tarski määrittelee: "A theory is called COMPLETE, on the other hand, if of any two contradictry sentences formulated exclusively in terms of the theory under consideration (and the theories preceding it) at least one sentence can be proved in this theory. Of a sentence which has the property that its negation can be proved in a given theory, it is usually said that it can be DISPROVED in that theory . . . a theory is complete . . . if every sentence formualted in the terms of this theory can be proved or disproved in it" (Tarski 1946, s. 135).

[4] van Heijenoort 1967, s. 582ff.