Kalkkeen vanhemmat olivat talollinen Heikki Kalkela (entinen Hannula) ja Helena Katariina Kalkela. Hän kävi Hämeenlinnan normaalilyseota ja pääsi ylioppilaaksi 1883. Kalke suoritti teologian erotutkinnon Helsingin yliopistossa ja hänet vihittiin papiksi 1886.
Kalke toimi Isonkyrön kappalaisena 1898–1916 ja Tohmajärven kirkkoherrana vuodesta 1916. Hän sai rovastin arvon 1928.
Kalke oli naimisissa vuodesta 1886 Hilma Henriette Brusilan (1862–1943) kanssa.
Historiallisia muistoja Isostakyröstä; alkuperäiseen Kosti Kalkkeen 1904 ilmestyneeseen teokseen Historiallisia muistoja Isostakyröstä pohjautuen uudelleen kirjoitti Jouko Lehtinen. Mirja Lehtinen, Laihia 2011
Kirjallisuutta
Matti Loukola: Kosti Kalke Isonkyrön kappalaisena 1898-1916. Isonkyrön Joulu 1979 s. 16–18.