Lattia- ja kattofunktio

Lattia- ja kattofunktio ovat kaksi matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä käytettävää funktiota, jotka muuntavat mielivaltaisen reaaliluvun kokonaisluvuksi.

Nimet "katto" (ceiling) ja "lattia" (floor) sekä vakiintuneet merkintätavat esitti ensimmäisenä Kenneth E. Iverson vuonna 1962.

Lattiafunktio

Lattiafunktio reaaliluvusta x, joka merkitään ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ tai floor(x), palauttaa suurimman kokonaisluvun, joka on pienempi tai yhtäsuuri kuin x. Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}.}$

Esimerkiksi floor(2,9) = 2, floor(−2) = −2 ja floor(−2,3) = −3.

Positiivisilla luvuilla x funktiota floor(x) voidaan kutsua myös x:n kokonaislukuosaksi. Funktio ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$ (myös x mod 1) on x:n desimaaliosa.

Kattofunktio

Kattofunktio, jota merkitään ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ tai ceil(x), palauttaa pienimmän kokonaisluvun, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin x. Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid x\leq n\}}$

Esimerkiksi ceil(2,3) = 3, ceil(2) = 2 ja ceil(−2,3) = −2.

Lattiafunktion ominaisuuksia

• Seuraava epäyhtälö on aina voimassa reaaliluvulle x :

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1}$

• Kun x ja n ovat positiivisia lukuja,

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{x}}\right\rfloor \geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}}$

• Lattiafunktio on idempotentti: ${\displaystyle \lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor }$.
• Mille tahansa kokonaisluvulle k ja reaaliluvulle x,

${\displaystyle \lfloor {k+x}\rfloor =k+\lfloor x\rfloor }$

• Luvun x perinteinen pyöristäminen voidaan ilmaista tavalla: floor(x + 0,5)
• Epänegatiivisilla reaaliluvuilla x pätee x = floor(x) + frac(x), missä frac(x) on x:n desimaaliosa
• Lattiafunktio ei ole jatkuva, vaan puolijatkuva funktio. Vakiofunktiona sen derivaatta on nolla jokaisessa pisteessä jotka eivät ole kokonaislukuja.
• Jos x on reaaliluku ja n on kokonaisluku, pätee n ≤ x jos ja vain jos n ≤ floor(x).
• Reaalilukujen x, jotka eivät ole kokonaislukuja, lattiafunktio voidaan esittää Fourier-esityksenä:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

• Jos m ja n ovat keskenään jaottomia lukuja, niin

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\lfloor im/n\rfloor =(m-1)(n-1)/2}$

• Jokaisen positiivisen kokonaisluvun k numeroiden määrä määritellään

${\displaystyle \lfloor \log _{10}(k)\rfloor +1}$

Kattofunktion ominaisuuksia

• Voidaan näyttää, että

${\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }$

sekä

${\displaystyle x\leq \lceil x\rceil <x+1}$

• Jokaiselle kokonaisluvulle k pätee

${\displaystyle \lfloor k/2\rfloor +\lceil k/2\rceil =k}$

Lähteet