Lineaarialgebra

Lineaarialgebra on matematiikan osa-alue, joka tutkii vektoreita, vektoriavaruuksia, lineaarikuvauksia ja lineaarisia yhtälöryhmiä. Vektoriavaruudet ovat nykyisin matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Lineaarialgebraa tarvitaan sekä abstraktissa algebrassa että funktionaalianalyysissä.

Historiaa

Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisu Gaussin eliminointimenetelmällä tunnettiin jo Kiinassa ennen ajanlaskun alkua. Moderni lineaarialgebra kehittyi paljon 1800-luvulla. Merkittäviä nimiä sen kehityksessä olivat muun muassa William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Arthur Cayley ja James Joseph Sylvester.

Lineaariset yhtälöryhmät

Pääartikkeli: Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on ${\displaystyle m}$ yhtälöä ja ${\displaystyle n}$ muuttujaa voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}\cdot x_{1}+a_{12}\cdot x_{2}+&\cdots &+a_{1n}\cdot x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m1}\cdot x_{1}+a_{m2}\cdot x_{2}+&\cdots &+a_{mn}\cdot x_{n}=b_{m}\end{matrix}}\right.}$

Saman asian voi kuitenkin kirjoittaa matriisimuodossa:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$,

jossa ${\displaystyle A}$ on ${\displaystyle n\times m}$ -kokoinen kerroinmatriisi, vektori ${\displaystyle \mathbf {b} }$ sisältää alkiot ${\displaystyle b_{1},...,b_{m}}$ ja ${\displaystyle \mathbf {x} }$ on ratkaistava vektori. Tämä on kätevin tapa muotoilla lineaariset yhtälöryhmät esimerkiksi tietokonelaskentaa varten.

Vektoriavaruudet

Pääartikkeli: Vektoriavaruus

Lineaarialgebraa voidaan lähestyä matriisien ja lineaaristen yhtälöryhmien avulla. Yleisempi, mutta abstraktimpi tapa on kuitenkin käsitellä vektoriavaruuksia. Voidaan määrittää tietyt ominaisuudet, jotka vektoriavaruuden alkioiden ja niiden välisten laskutoimitusten on täytettävä. Vektoriavaruuksia ovat muun muassa matriisit. Itse asiassa osoittautuu, että kaikki äärellisulotteiset vektoriavaruudet voidaan ilmaista matriisien avulla. Lisäksi käy ilmi, että avaruuden dimensio määrittää täysin vektoriavaruuden, tarkemmin sanottuna kaikki samandimensioiset vektoriavaruudet ovat isomorfisia keskenään. Esimerkiksi mikä tahansa n-ulotteinen vektoriavaruus voidaan samaistaa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times 1}}$-sarakevektorien muodostamaan avaruuteen.

Sovelluksia

Lineaarialgebraa käytetään paljon sekä puhtaassa matematiikassa että matematiikan sovelluksissa. Alla oleva lista ei ole täydellinen.

Opetus

Lineaarialgebraa opetettiin Suomessa yliopistojen ulkopuolella muun muassa lukiossa vuosina 1998–1999 tehdyssä koulutuskokeiluissa.

Katso myös

• Neliömatriisi
• Lävistäjämatriisi
• Kääntyvä matriisi
• Vektorianalyysi

Lähteet

Kirjallisuutta