Matriisi

Tämä artikkeli kertoo matemaattisesta käsitteestä. Matriisi on myös kirjakkeen valmistamiseen käytetty muotti.

Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

Määritelmä

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita kutsutaan tyypin $m\times n$ matriisiksi ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}

Rivillä i ja sarakkeessa j olevaa matriisin alkiota merkitään $a_{ij}$ tai $A_{ij}$ . Lävistäjäalkio on alkio, jolla i=j.

Tavallisia matriiseja

Yksikkömatriisi ${\boldsymbol {I}}$ on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. $n\times n$ yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla ${\boldsymbol {I}}_{n\times n}$ . Tällöin pätee ${\boldsymbol {I}}_{ij}=1$ , kun $i=j$ , ja muuten ${\boldsymbol {I}}_{ij}=0$ .

{\boldsymbol {I}}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

Nollamatriisi $\mathbf {O}$ on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Neliömatriisilla on yhtä monta riviä ja saraketta.

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille ${\boldsymbol {A}}_{n\times n}$ pätee että $A_{ij}=0$ kun $i\neq j$ :

{\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\,&0\\\vdots &\,&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\\\end{bmatrix}}=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},...,a_{n})

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

Transpoosi ja symmetrisyys

Matriisin A transpoosi (merk. A^T) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:

jos

{\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}

, niin

{\boldsymbol {A}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}

.

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli ${\boldsymbol {A}}^{\operatorname {T} }={\boldsymbol {A}}$ .

Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa

Skalaarilla kertominen

Matriisi ${\boldsymbol {A}}=(a_{ij})$ kerrotaan skalaarilla $c$ siten, että jokainen ${\boldsymbol {A}}$ :n alkio kerrotaan skalaarilla c:

c{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}c=(ca_{ij})\,\!

Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien ${\boldsymbol {A}}_{m\times n}$ ja ${\boldsymbol {B}}_{m\times n}$ summa on $({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})_{m\times n}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}$

Kertolasku

Matriisien kertolaskussa tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakariveistä ja toisen matriisin sarakkeista muodostettujen vektoreiden pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa $m\times p$ ja B kokoa $p\times n$ . Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa $m\times n$ . Nyt matriisitulo on

${\boldsymbol {AB}}={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {b} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {b} _{n}\end{bmatrix}}$ ,

missä kukin $\mathbf {a} _{i}$ on matriisin A i:nnestä vaakarivistä muodostettu vektori, ja $\mathbf {b} _{j}$ on matriisin B j:nnestä sarakkeesta muodostettu vektori. On tärkeää huomata, että matriisin A sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Esimerkki

$\left({\begin{array}{ccc}3&-1\\5&2\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}1&4&-3\\0&-2&6\\\end{array}}\right)$ $=\left({\begin{array}{ccc}3\cdot 1+(-1)\cdot 0&3\cdot 4+(-1)\cdot (-2)&3\cdot (-3)+(-1)\cdot 6\\5\cdot 1+2\cdot 0&5\cdot 4+2\cdot (-2)&5\cdot (-3)+2\cdot 6\\\end{array}}\right)$ $=\left({\begin{array}{ccc}3&14&-15\\5&16&-3\\\end{array}}\right).$

Tärkeimmät laskusäännöt

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille $A$ , $B$ ja $C$ , mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

${\boldsymbol {A+O=A}}$
${\boldsymbol {AO=OA=O}}$ , missä $(\forall [{\boldsymbol {O}}]_{ij}=0)$
${\boldsymbol {A+B=B+A}}$
$({\boldsymbol {A+B)+C=A+(B+C)}}$
$c({\boldsymbol {A+B}})=c{\boldsymbol {A}}+c{\boldsymbol {B}}$
$1{\boldsymbol {A=A}}$
${\boldsymbol {A(BC)=(AB)C}}$
$c({\boldsymbol {AB}})=(c{\boldsymbol {A}}){\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {A}}(c{\boldsymbol {B}})$
${\boldsymbol {A(B+C)=AB+AC}}$
${\boldsymbol {(A+B)C=AC+BC}}$
${\boldsymbol {IA=AI=A}}$
${\boldsymbol {(AB)^{\operatorname {T} }=B^{\operatorname {T} }A^{\operatorname {T} }}}$

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: ${\boldsymbol {AB=(B^{\operatorname {T} }A^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }}}$

On huomattava, että yleisesti ${\boldsymbol {AB\neq BA}}$ , so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

Determinantti

Pääartikkeli: determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin $A$ determinantti merkitään:

\det {\boldsymbol {A}}={\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}

Matriisin ${\boldsymbol {A}}$ alimatriisi ${\boldsymbol {A}}_{ij}$ saadaan poistamalla matriisista $i$ :s vaakarivi ja $j$ :s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia $\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{ij}$ sanotaan alkion $a_{ij}$ alideterminantiksi.

Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta.

Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin ${\boldsymbol {A}}=[a_{ij}]_{n\times n}$ determinantti on

\det {\boldsymbol {A}}=\sum _{j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}}^{}\sigma \left(j_{1},j_{2},j_{3},\ldots ,j_{n}\right)\cdot a_{1j_{1}}\cdot a_{2j_{2}}\cdot a_{3j_{3}}\cdot \ldots \cdot a_{nj_{n}}

,jossa $(j_{1},j_{2},j_{3},\dots ,j_{n})$ on eräs $\{1,\dots ,n\}$ :n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja

\sigma \left(j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}\right)={\begin{cases}1,&{\mbox{jos }}{j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}}{\mbox{ on parillinen}}\\-1,&{\mbox{jos }}{j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}}{\mbox{ on pariton}}\end{cases}}

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla alkiot 2 ja 3 keskenään.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi $2\times 2$ determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\sigma (1,2)\cdot a\cdot d+\sigma (2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c

Laskusääntöjä

$\det \left({\boldsymbol {A^{\operatorname {T} }}}\right)=\det \left({\boldsymbol {A}}\right)$

$\det({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}})=\det({\boldsymbol {A}})\cdot \det({\boldsymbol {B}})$ , jossa A ja B ovat molemmat n $\times$ n -matriiseja.

Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

\det({\boldsymbol {A}})=0

Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

\det \left({\boldsymbol {A}}\right)=0

Jos matriisi A₁ saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,

\det \left({\boldsymbol {A}}_{1}\right)=c\cdot \det \left({\boldsymbol {A}}\right)

Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

Jos matriisi A₁ saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

\det \left({\boldsymbol {A}}_{1}\right)=-\det \left({\boldsymbol {A}}\right)

Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

\det {\boldsymbol {A}}=\sum _{k=1}^{n}\left(-1\right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij}\,,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}

,jossa A_ij on determinantti matriisista, joka saadaan, kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

{\begin{aligned}{\begin{vmatrix}1&5&7\\6&0&1\\3&2&0\end{vmatrix}}&=1\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}}-5\cdot {\begin{vmatrix}6&1\\3&0\end{vmatrix}}+7\cdot {\begin{vmatrix}6&0\\3&2\end{vmatrix}}\\&=1\cdot \left(0\cdot 0-2\cdot 1\right)-5\cdot \left(6\cdot 0-1\cdot 3\right)+7\cdot \left(6\cdot 2-0\cdot 3\right)=97\end{aligned}}

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo $25\times 25$ matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

\det \left({\boldsymbol {A}}\right)=c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot \ldots \cdot d_{nn}

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja $d_{ii}$ ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: $c=-1c_{0}$ .
Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: $c=c_{0}$ .
Kun kerrotaan rivi vakiolla k: $c=kc_{0}$ .

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

Sarrus’n sääntö on eräs tapa 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

Alkion komplementti

määritellään alkion $a_{ij}\,\!$ komplementti eli kofaktori

C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\,\!

.

Matriisin ${\boldsymbol {A}}=(a_{ij})\,\!$ adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots &C_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }

.

Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia ${\boldsymbol {A}}$ sanotaan singulaariseksi, jos $\det {\boldsymbol {A}}=0\,\!$ . Jos $\det {\boldsymbol {A}}\neq 0$ , matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille ${\boldsymbol {A}}$ pätee

{\boldsymbol {A}}\left({\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}\right)=I

ja

\left({\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}\right){\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {I}}

.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

Matriisit ja lineaarikuvaukset

Jokaista äärellisulotteista lineaarikuvausta $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ vastaa tietty $m\times n$ kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtöavaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvausavaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvausavaruuden vektorin, joksi jokin lähtöavaruuden kantavektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvausavaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.

Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaarikuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.

Lineaariset yhtälöryhmät

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on $m$ ehtoa ja $n$ tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+&\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+&\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\&\ \ \vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+&\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}$

Sama voidaan esittää matriisilla ${\boldsymbol {A}}_{m\times n}$ ja $n$ -pituisilla vektoreilla ${\boldsymbol {x}}$ ja ${\boldsymbol {b}}$ lyhyesti muodossa $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ :

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Neliömatriisi ${\boldsymbol {A}}_{n\times n}$ on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi ${\boldsymbol {B}}_{n\times n}$ siten että ${\boldsymbol {AB=I}}_{n\times n}$ ja ${\boldsymbol {BA=I}}_{n\times n}$ . Muussa tapauksessa matriisi ${\boldsymbol {A}}$ on singulaarinen. Matriisia ${\boldsymbol {B}}$ kutsutaan matriisin ${\boldsymbol {A}}$ käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ . Säännölliset $n\times n$ -matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat yhteen- ja kertolaskun suhteen renkaan, jota merkitään $GL_{n}$ . Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan, että lineaarisessa yhtälöryhmässä ${\boldsymbol {A}}_{n\times n}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ on $n$ ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis ${\boldsymbol {A}}$ on $n\times n$ neliömatriisi. Matriisin ${\boldsymbol {A}}_{n\times n}$ säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli ${\boldsymbol {A}}$ on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori ${\boldsymbol {b}}$ mikä hyvänsä. Mikäli ${\boldsymbol {A}}$ on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin ${\boldsymbol {b}}$ arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on, että matriisi ${\boldsymbol {A}}$ on säännöllinen, jos ja vain jos ${\boldsymbol {Ax=0}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {x=0}}$ .

Historia

Englanninkielisen sanan Matrix tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850:

»For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants ...»

Sana (lat. matrix ’kohtu’ < mater ’äiti’ ) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”).

Lähteet

1 2 3 4 Weisstein, Eric W: "Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
↑ Weisstein, Eric W: "Identity matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
↑ Weisstein, Eric W.: "Matrix Addition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
↑ Weisstein, Eric W.: "Matrix Multiplication." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
↑ Weisstein, Eric W.: "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
↑ Stover, Christopher ja Weisstein, Eric W.: "Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
↑ Additions to the articles in the September number of this journal, ”On a new class of theorems,” and on Pascal’s theorem. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1850, 37. vsk, s. 363–370. Taylor & Francis. Artikkelin verkkoversio. Viitattu 20.1.2018.
↑ Merriam-Webster dictionary (Hakusana matrix) merriam-webster.com. Viitattu 20.1.2018.
↑ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, s. 247. (Paper 37) American Mathematical Society, 2005. Teoksen verkkoversio Viitattu 20.1.2018.

Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) 2015. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).

Aiheesta muualla

Matriisien kertolasku eli matriisitulo (Arkistoitu – Internet Archive)

[WA-1] 1 2 3 4 Weisstein, Eric W: "Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.

[2] Weisstein, Eric W: "Identity matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.

[3] Weisstein, Eric W.: "Matrix Addition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.

[4] Weisstein, Eric W.: "Matrix Multiplication." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.

[5] Weisstein, Eric W.: "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.

[6] Stover, Christopher ja Weisstein, Eric W.: "Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.

[sylvester1850-7] Additions to the articles in the September number of this journal, ”On a new class of theorems,” and on Pascal’s theorem. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1850, 37. vsk, s. 363–370. Taylor & Francis. Artikkelin verkkoversio. Viitattu 20.1.2018.

[mw-8] Merriam-Webster dictionary (Hakusana matrix) merriam-webster.com. Viitattu 20.1.2018.

[sylvester1851-9] The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, s. 247. (Paper 37) American Mathematical Society, 2005. Teoksen verkkoversio Viitattu 20.1.2018.