Monoidi

Monoidi on algebrallinen rakenne, joka koostuu joukosta ${\displaystyle S}$ ja sen alkioihin liittyvästä binäärioperaatiosta ${\displaystyle *}$ (merkitään ${\displaystyle (S,*)}$) jotka toteuttavat seuraavat ehdot:

1. Suljettu: kaikilla ${\displaystyle a,b\in S}$ siten, että ${\displaystyle a*b\in S}$.
2. Assosiatiivisuus: kaikilla ${\displaystyle a,b,c\in S}$ siten, että ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$.
3. Neutraalialkio: on olemassa ${\displaystyle e\in S}$ siten, että kaikilla ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle e*a=a*e=a}$.

Toisin sanoen monoidi on puoliryhmä, jossa on neutraalialkio.

Esimerkkejä:

1. Luonnollisten lukujen joukko muodostaa monoidin yhteenlaskun suhteen neutraalialkionaan ${\displaystyle 0}$, ja kertolaskun suhteen neutraalialkionaan ${\displaystyle 1}$.
2. Merkkijonot operaationa niiden yhdistäminen on monoidi, jossa neutraalialkio on tyhjä merkkijono.

Monoidi on vaihdannainen, jos operaatio on vaihdannainen. Yllä ensimmäinen esimerkki on vaihdannainen: esimerkiksi ${\displaystyle 2+3=3+2}$ ja ${\displaystyle 4*5=5*4}$, ja sama pätee kaikilla luvuilla. Toinen esimerkki ei ole, merkkijonojen "xy" ja "ab" yhdiste on "xyab" mutta toisinpäin "abxy".

Moni algebrallinen rakenne sisältää monoidin osana määritelmäänsä, esimerkiksi ryhmä, rengas ja kunta.

Lähteet