Nilpotentti

Matematiikassa renkaan R alkiota x kutsutaan nilpotentiksi, jos on olemassa joku positiivinen kokonaisluku n siten, että xⁿ = 0.

Amerikkalainen matemaatikko Benjamin Peirce otti termin käyttöön algebran alkiosta, jokin katoaa kun se korotetaan tiettyyn potenssiin.^selvennä

Esimerkkejä

Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

on nilpotentti, koska A³ = 0. Katso lisää: nilpotentti matriisi.

Tekijärenkaassa Z/9Z 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 3² on kongruentti 0 modulo 9.
Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat ab = 0. Tällöin alkio c = ba on nilpotentti (jos ei nolla), kun c² = (ba)² = b(ab)a = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Tässä AB = 0, BA = B.

Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion

Ominaisuudet

Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.

n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on tⁿ.

Jos x on nilpotentti, niin silloin alkiolla 1 - x on olemassa käänteisalkio $(1 - x)^{- 1}$ , koska xⁿ = 0 edellyttää, että

(1 - x) (1 + x + x^{2} + \dots + x^{n - 1}) = 1 - x^{n} = 1

Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan yksikköalkio, kun ne kommutoivat.

Vaihdannainen rengas

Vaihdannaisen renkaan $R$ nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin $𝔑$ ; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali $𝔑$ kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio $x$ kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin $𝔭$ , koska $x^{n} = 0 \in 𝔭$ . Joten $𝔑$ sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.

Jos $x$ ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida $x$ :t potenssien mukaan: $x$ : $S = {1, x, x^{2}, ...}$ saadaan nollasta poikkeava rengas $S^{- 1} R$ . Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne $𝔭$ , jotka toteuttaa $𝔭 \cap S = ∅︀$ . Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos $x$ ei ole nilpotentti niin $x$ ei kuulu $𝔭$ , jollakin $R$ :n alkuideaalilla $𝔭$ . Siksi $𝔑$ on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus.

Lähteet

↑ Polcino & Sehgal (2002), s. 127.
↑ Matsumura, Hideyuki: ”Chapter 1: Elementary Results”, Commutative Algebra, s. 6. W. A. Benjamin, 1970. ISBN 978-0-805-37025-6
↑ Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G.: ”Chapter 1: Rings and Ideals”, Introduction to Commutative Algebra, s. 5. Westview Press, February 21, 1994. ISBN 978-0-201-40751-8

Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) 2015. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Käännös suomeksi

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Nilpotent

[1] Polcino & Sehgal (2002), s. 127.

[2] Matsumura, Hideyuki: ”Chapter 1: Elementary Results”, Commutative Algebra, s. 6. W. A. Benjamin, 1970. ISBN 978-0-805-37025-6

[3] Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G.: ”Chapter 1: Rings and Ideals”, Introduction to Commutative Algebra, s. 5. Westview Press, February 21, 1994. ISBN 978-0-201-40751-8