Moniulotteinen kolmio

Moniulotteinen kolmio eli n-kolmio tai n-simpleksi on geometriassa käytetty muoto, joka yleistää tavallisen kolmion mielivaltaiseen ulottuvuuteen. Nollaulotteinen kolmio on piste, yksiulotteinen jana, kaksiulotteinen tavallinen kolmio ja kolmiulotteinen nelitahokas. Moniulotteisia kolmioita käytetään muun muassa algebrallisessa topologiassa ja kolmiohomologian määrittelyssä.

Määritelmä

Olkoon ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}}$ joukko ${\displaystyle n+1}$ affiinisesti riippumatonta pistettä. Niiden virittämällä n-kolmiolla tarkoitetaan pistejoukkoa, joka muodostuu pisteiden kaikkien konveksien yhdistelmien joukosta. Se voidaan esittää muodossa

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}v_{i}\;|\;\lambda _{i}\geq 0,\ \sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}=1\right\}.}$

Pisteitä ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}}$ kutsutaan kolmion kärjiksi. Affiinisen riippumattomuuden ansiosta kolmion ulottuvuus on ${\displaystyle n}$, ja sillä on täsmälleen ${\displaystyle n+1}$ kärkeä.

Esimerkkejä

Moniulotteisen kolmion tavallisia erikoistapauksia ovat:

• 0-kolmio on yksittäinen piste.
• 1-kolmio on jana, jonka päätepisteet ovat sen kärjet.
• 2-kolmio on kolmio, jonka kolme kärkeä eivät sijaitse samalla suoralla.
• 3-kolmio on nelitahokas, jonka neljä kärkeä eivät sijaitse samalla tasolla.
• 4-kolmio on neliulotteinen geometrinen kappale, jolla on viisi kärkeä ja jonka jokainen kolmiulotteinen sivu on nelitahokas.

Yleisesti n-kolmiolla on ${\displaystyle n+1}$ kärkeä ja ${\displaystyle n+1}$ ulottuvuudeltaan ${\displaystyle n-1}$ olevaa sivua. Ulottuvuuden kasvaessa moniulotteista kolmiota on vaikeampi havainnollistaa tavallisessa kolmiulotteisessa avaruudessa, mutta sen matemaattinen määritelmä säilyy samana.

Tahko, sivu ja reuna

Kolmion tahko saadaan valitsemalla jokin epätyhjä osajoukko sen kärjistä ja tarkastelemalla näiden kärkien virittämää pienempiulotteista kolmiota. Esimerkiksi tavallisen kolmion tahkoja ovat itse kolmio, sen kolme sivujanaa ja kolme kärkeä. Nelitahokkaan tahkoja ovat itse nelitahokas, sen neljä kolmionmuotoista sivutahkoa, kuusi särmää ja neljä kärkeä.

Ulottuvuudeltaan ${\displaystyle n-1}$ olevia tahkoja kutsutaan kolmion sivuiksi. Kolmion reuna muodostuu sen kaikista sivuista. Kun ${\displaystyle n\geq 1}$, reuna voidaan esittää kärkipisteiden avulla muodossa

${\displaystyle \partial \Delta ^{n}=\bigcup _{i=0}^{n}\operatorname {conv} \{v_{0},\ldots ,{\widehat {v_{i}}},\ldots ,v_{n}\},}$

missä ${\displaystyle \operatorname {conv} }$ tarkoittaa konveksipeitettä ja merkintä ${\displaystyle {\widehat {v_{i}}}}$ tarkoittaa kärjen ${\displaystyle v_{i}}$ pois jättämistä. Reuna koostuu siis niistä ${\displaystyle (n-1)}$-kolmioista, jotka saadaan poistamalla yksi kärki kerrallaan.

Raamit ja kolmiointi

Raami on kokoelma moniulotteisia kolmioita, joka sisältää jokaisen siihen kuuluvan moniulotteisen kolmion kaikki tahkot. Lisäksi kahden moniulotteisen kolmion leikkaus on joko tyhjä tai niiden yhteinen tahko. Tällainen rakenne mahdollistaa moniulotteisien kolmioiden kokoamisen suuremmiksi geometrisiksi ja topologisiksi kokonaisuuksiksi.

Jos raamin geometrinen toteutus on homeomorfinen jonkin topologisen avaruuden kanssa, raami määrittää kyseisen avaruuden kolmioinnin. Kolmioinnissa avaruus esitetään siis joukkona yhteen sopivasti liittyviä moniulotteisia kolmioita. Sama avaruus voidaan yleensä kolmioida monella eri tavalla.

Käyttö homologiassa

Moniulotteiset kolmiot ovat keskeisiä yksinkertaisessa kolmiohomologiassa. Siinä kolmioinnin ${\displaystyle n}$-kolmiot muodostavat ${\displaystyle n}$-ketjuryhmän virittäjät. Kolmion reunat voidaan esittää sen tahkojen etumerkittynä summana, ja näistä reunakuvauksista muodostetaan ketjukompleksi, jonka avulla lasketaan avaruuden homologiaryhmät.

Moniulotteisien kolmioiden avulla voidaan siten muuttaa topologisen avaruuden rakennetta koskeva ongelma algebralliseksi laskuksi.

Lähteet

• Huhtamäki, Hermanni: Hovanovin homologia. (Diplomityö) Aalto-yliopisto, 2026. Teoksen verkkoversio Aalto-yliopiston julkaisuarkistossa (pdf) Viitattu 11.10.2026.