Varianssi

Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi lasketaan

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{x\in X}(x-\mu _{X})^{2}f_{X}(x),}$

missä ${\displaystyle f_{X}(x)}$ on jakauman pistetodennäköisyysfunktio.

Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvan satunnaismuuttujaparin varianssi on taas

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{2}f_{X}(x)dx,\,}$

missä ${\displaystyle f_{X}(x)}$ on jakauman tiheysfunktio.

Rinnakkaiskaavan johtaminen

Varianssin lauseketta voidaan kehittää edelleen käyttämällä hyväksi odotusarvon ominaisuuksia:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{X}^{2}&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}\end{aligned}}}$

Ensimmäistä muotoa kutsutaan toiseksi keskusmomentiksi ja viimeisessä muodossa käytetään toista ja ensimmäistä origomomenttia.

Varianssin laskemiseksi on käytössä myös tekijämomentin sisältävä muoto:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} [X(X-1)]+\operatorname {E} [X]-(\operatorname {E} [X])^{2}}$

Ominaisuuksia

Varianssin arvo on aina epänegatiivinen. Kun varianssi on nolla, ei arvoissa esiinny vaihtelua ja satunnaismuuttuja antaa vain samoja arvoja. Siten

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)\geq 0.}$

Varianssi on kovarianssi kahden identtisen satunnaismuuttujan välillä

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\sigma (X,X).}$ (kovarianssi)

Päättelysääntöjä summista

Jokaisen satunnaismuuttujan arvoon lisätty vakio ei vaikuta varianssin arvoon eli

${\displaystyle \sigma ^{2}(X+a)=\sigma ^{2}(X),}$

mutta arvojen kertominen vakiolla kasvattavat ${\displaystyle (|a|>1)}$ tai vähentävät ${\displaystyle (|a|<1)}$ varianssia

${\displaystyle \sigma ^{2}(aX)=a^{2}\sigma ^{2}(X).}$

Kahden satunnaismuuttujan lineaarikombinaatiossa varianssiin vaikuttaa myös satunnaismuuttujien kovarianssi

${\displaystyle \sigma ^{2}(aX\pm bY)=a^{2}\sigma ^{2}(X)+b^{2}\sigma ^{2}(Y)\pm 2ab\,\sigma (X,Y),}$

mikä merkitään yleisemmässä tapauksessa

${\displaystyle \sigma ^{2}(a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\dots +a_{n}X_{n})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\,\sigma ^{2}(X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{i}a_{j}\sigma (X_{i},X_{j}).}$

Nämä arvot voidaan käsitellä hallitummin kovarianssimatriisissa. Tämä ominaisuus vaikuttaa myös satunnaismuuttujien summan varianssiin

${\displaystyle \sigma ^{2}(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sigma (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}(X_{i})+\sum _{i\neq j}\sigma (X_{i},X_{j}).}$

Kovarianssia ei tarvitse huomioida, mikäli satunnaismuuttujat ovat korreloimattomia ${\displaystyle \sigma (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),}$ jolloin

${\displaystyle \sigma ^{2}(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}(X_{i}).}$

Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina korreloimattomia. Korreloimattomilla satunnaismuuttujilla välimerkki ei vaikuta varianssin arvoon

${\displaystyle \sigma ^{2}(X\pm Y)=\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y).}$

Päättelysääntöjä tuloista

Kahden satunnaismuuttujan tulon varianssi voidaan määrittää odotusarvon ominaisuuksien avulla

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)&=[E(X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[E(Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)\\&=E(X^{2})E(Y^{2})-[E(X)]^{2}[E(Y)]^{2}.\end{aligned}}}$