Virhefunktio

Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista.^{kenen mukaan?} Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa. Virhefunktio liittyy läheisesti normitetun normaalijakauman kertymäfunktioon. Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti.

Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisin^lähde? määritelmä on

\erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

Virhefunktion ominaisuuksia

Virhefunktio on pariton funktio

\erf (- x) = - \erf (x)

ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa

\erf (z^{*}) = (\erf (z))^{*}

.

Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on

\erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) n!} = \frac{2}{\sqrt{π}} (x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} - \dots)

Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä

\frac{d}{d x} \erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{- x^{2}}

ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla

\frac{d^{n}}{d x^{n}} \erf (x) = (- 1)^{n - 1} \frac{2}{\sqrt{π}} H_{n - 1} (x) e^{- x^{2}}

,

missä $H_{k} (x)$ on $k$ :s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali

\int \erf (x) d x = x \erf (x) + \frac{e^{x^{2}}}{\sqrt{π}}

Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä

\erf^{- 1} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{2 n + 1} {(\frac{\sqrt{π}}{2} x)}^{2 n + 1}

,

missä

c_{n} = \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{c_{m} c_{n - 1 - m}}{(m + 1) (2 m + 1)}, c_{0} = 1

Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion $Φ (x)$ välillä on yhteys:

e r f (x) = 2 Φ (x) - 1

,

Φ (x) = \frac{\erf (x) + 1}{2}

.

Molempien funktioiden raja-arvo, kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta

lim_{x \to - \infty} Φ (x) = 0

,

kun taas

lim_{x \to - \infty} \erf (x) = - 1

Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfunktio arvon 1/2.

Virhefunktion komplementti määritellään

erfc (x) = 1 - \erf (x)

tai yhtäpitävästi integraalina

erfc (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{x}^{\infty} e^{- t^{2}} d t

.

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 x \frac{d y}{d x} - 2 y = 0

.

Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa

\frac{d}{d x} erfc (x) = - \frac{2}{\sqrt{π}} e^{- x^{2}}

ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia

\int erfc (x) d x = x erfc (x) - \frac{e^{- x^{2}}}{\sqrt{π}}