Aallokemuunnos

Aallokemuunnos on 1980-luvulta lähtien yleistynyt sovelletun matematiikan menetelmä, jota hyödynnetään mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja harmonisessa analyysissä. Se on korvaamassa monessa sovellutuksessa Fourier-muunnoksen. Toisin kuin Fourier-muunnoksessa, joka määrittelee signaalin jatkuvien trigonometristen funktioiden lineaarikombinaationa, aallokemuunnoksessa signaalin muodostavat osafunktiot ovat lokaaleja.

Aallokemuunnos tehdään suodattamalla syötesignaali käyttäen kantafunktiosta johdettujen aalloke- ja skaalausfunktioiden eri tavalla skaalattuja ja aika-avaruudessa siirrettyjä variaatioita.

Yleisesti käytössä on ns. diskreetti aallokemuunnos, jossa aallokkeiden skaalaus ja siirto määritellään diskreettien kokonaislukuparametrien avulla. On myös olemassa ns. jatkuva aallokemuunnos, jossa skaalaus- ja siirtoparametrit voivat olla mitä tahansa reaalilukuja.

Diskreetti aallokemuunnos

Olkoon ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$ aallokefunktio tai "äiti-aalloke". Sen muodostomaa funktioperhettä

${\displaystyle \lbrace \psi _{j,k}(x)={\sqrt {2}}^{j}\psi (2^{j}x-k):j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} \rbrace }$

kutsutaan aallokejärjestelmäksi, jonka avulla voidaan määritellä diskreetti aallokemuunnos:

${\displaystyle {\mathcal {W}}(f)(j,k)=\langle f,\psi _{j,k}\rangle ,}$

missä ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ on funktioavaruuden ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ sisätulo. Aallokemuunnoksen arvoja ${\displaystyle \langle f,\psi _{j,k}\rangle }$ kutsutaan funktion ${\displaystyle f}$ aallokekertoimiksi. Fourier-muunnoksen tavoin niiden avulla on mahdollista analysoida funktion ominaisuuksia eri skaaloissa tai taajuuksilla, mutta lokaalisti: jokainen aalloke ${\displaystyle \psi _{j,k}}$ on keskitetty ainoastaan ${\displaystyle \sim 2^{-j}}$ pituiselle osalle avaruutta ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Parametrin ${\displaystyle j}$ kasvaessa aallokkeiden koko pienenee ja niillä voidaan analysoida funktiota ${\displaystyle f}$ entistä pienemmillä väleillä, eli korkeammalla resoluutiolla.

Erityisen suosittuja ovat aallokefunktiot ${\displaystyle \psi }$, joiden muodostama aallokejärjestelmä on avaruuden ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ (tai sen aliavaruuden) kanta. Tällaisia aallokeperheitä on vuosien mittaan kehitetty lukuisia. Esim. Alfréd Haarin kehittämä Haarin aalloke, Ingrid Daubechiesin kompaktikantajaiset aallokeperheet ja Jean Morletin kompleksilukuarvoinen Morlet-aallokke..

Kannan määritelmän mukaisesti kaikki avaruuden alkiot voidaan esittää kannan avulla. Aallokkeiden tapauksessa mikä tahansa ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ voidaan ilmaista sen aallokertoimien avulla:

${\displaystyle f(x)=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\sum _{k\in \mathbb {Z} }\langle f,\psi _{j,k}\rangle \psi _{j,k}(x).}$

Tällöin lineaarinen analyysioperaattori ${\displaystyle {\mathcal {W}}:L^{2}(\mathbb {R} )\longrightarrow \ell ^{2}(\mathbb {Z} ^{2})}$ on Hilbertin avaruuksien välinen unitaarinen operaattori, jonka käänteismuunnos (eli synteesioperaattori) on

${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {c}})(x)=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}\psi _{j,k}(x)}$,

millä tahansa ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}=(c_{j,k})\in \ell ^{2}(\mathbb {Z} ^{2})}$.

Käytännön sovelluksia

Aallokemuunnosta käytetään erilaisten digitaalisten signaalien käsittelyyn, analysointiin ja pakkaamiseen.

• Seismisten mittausten käsittely
• Äänisignaalien pakkaaminen
• Kuvien pakkaaminen (JPEG-2000 tiedostoformaatti , FBI:n WSQ menetelmä sormenjälkiarkiston pakkaamiseen )
• Konenäkö
• Digitaalisten sormenjälkien lisääminen
• Kohinan suodatus

Historia

Yksi ensimmäisistä allokkeiden käyttökohteista oli seismografisten mittausten tarkastelu tietyllä ajanhetkellä ja taajudella. 1970-luvun lopulla Jean Morlet analysoi niiden avulla seismisiä mittauksia, jotka sisälsivät sekä lyhytaikaisia korkeita taajuuksia, että pitkään jatkuvia matalia taajuuksia. Menetelmä osoittautui hyödylliseksi, joten Morlet pyysi fyysikko Alex Grossmanilta apua niiden matemaattisen teorian kehittämiseen. Myöhemmin erityisesti ranskalaiset matemaatikot Yves Meyer ja Stéphane Mallat täydensivät aallokkeiden teoriaa.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Boggess, Albert; Narcowich, Francis J.: A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. New Jersey, USA: John Wiley & Sons, 2015.

• Daubechies, Ingrid: Ten lectures on wavelets. Pennsylvania, USA: SIAM, 1992. ISBN 0-89871-274-2 Teoksen verkkoversio.

• Mallat, Stéphane: A Wavelet Tour of Signal Processing. USA: Elsevier, 1999. ISBN 978-0-12-466606-1
• Addison, Paul S. The Illustrated Wavelet Transform Handbook. Second edition. CRC Press, 2017. https://doi.org/10.1201/9781315372556