Argument du maximum

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En mathématiques, l'argument du maximum, noté arg max ou argmax, est l'ensemble des points en lesquels une expression atteint sa valeur maximale.

Définition

Pour une fonction f:X→Y, avec Y un ensemble totalement ordonné, l'arg max de f est défini par :

argmax⁡f =déf {x∈X | ∀x′∈X, f(x′)≤f(x)}

c'est-à-dire que argmax⁡f est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles f atteint son maximum. De manière équivalente, argmax⁡f est l'ensemble de niveau du maximum de f :

argmax⁡f=f−1({max⁡f}).

On peut aussi trouver la notation argmaxxf(x).

Si A est une partie de X alors l'arg max de la restriction de f à A, f|A, peut être noté

argmax⁡f|A ou argmaxAf ou argmaxx∈Af(x).

Sa valeur est

argmaxAf = {x∈A | ∀x′∈A, f(x′)≤f(x)}.

Par exemple, si f(x) est −|x|, alors elle atteint sa valeur maximum pour x=0 seulement et son arg max est {0}.

Nous avons aussi

argmaxx∈[0,4π]cos⁡(x)={0,2π,4π}

car le maximum de cos⁡(x) est 1, et cette valeur est atteinte sur l'intervalle [0;4π] quand x=0, 2π ou 4π.

Si le maximum est atteint en un seul point, alors par souci de simplification, on peut aussi désigner ce point comme l'arg max et on pourra utiliser le point ou le singleton selon le contexte. Par exemple, le seul maximum de x(10−x) est 25, atteint uniquement pour x=5, d'où

argmaxx∈ℝ(x(10−x))=5 dans un contexte de nombres

et

argmaxx∈ℝ(x(10−x))={5} dans un contexte d'ensembles.

Arg min

arg min (ou argmin) est défini de manière analogue (en remplaçant «max» par «min» et ≤ par ≥): pour une fonction f:X↦Y, avec Y un ensemble totalement ordonné, l'arg min est défini par

argmin⁡f =déf {x∈X | ∀x′∈X,f(x′)≥f(x)}.

Voir aussi

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arg max » (voir la liste des auteurs).