Homéomorphisme

Ne doit pas être confondu avec Homomorphisme.

Cet article concerne l'homéomorphisme en topologie. Pour l'homéomorphisme en théorie des graphes, voir Homéomorphisme de graphes.

En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue (une telle application est aussi dite « bicontinue »). Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.

Théorème

Soit ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ des espaces topologiques, ${\displaystyle f}$ une application bijective de ${\displaystyle X}$ sur ${\displaystyle Y}$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{-1}}$ sont continues ;
• pour qu'une partie de ${\displaystyle X}$ soit ouverte, il faut et il suffit que son image dans ${\displaystyle Y}$ par ${\displaystyle f}$ soit ouverte.

Propriétés

• Une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte ou fermée (elle est alors les deux).
• Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K → E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.En effet, tout fermé F de K est compact ; comme E est séparé, l'image de F par f est compacte, a fortiori fermée dans E. Donc, f est une bijection continue fermée, i.e. un homéomorphisme par le point précédent.
• Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme (voir l'article Comparaison de topologies). Par exemple, l'application${\displaystyle f:\left[0,2\pi \right[\to S^{1},~t\mapsto (\cos t,\sin t)}$est une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en (1, 0). En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le cercle S¹ et une partie de ℝ (par des arguments de connexité ou de simple connexité).

Définitions associées

Une application f : X → Y est un homéomorphisme local (en) si tout point de X appartient à un ouvert V tel que f(V) soit ouvert dans Y et que f donne, par restriction, un homéomorphisme de V sur f(V). Une telle application est continue et ouverte.

Exemples

• Tout revêtement est un homéomorphisme local.
• Pour tout ouvert X de Y, l'inclusion X → Y est un homéomorphisme local.
• Toute composée X → Z d'homéomorphismes locaux X → Y et Y → Z est un homéomorphisme local.
• Toute réunion disjointe ∐_i∈IX_i → Y d'homéomorphismes locaux X_i → Y est un homéomorphisme local.
• Tout quotient X/~ → Y d'un homéomorphisme local X → Y par une relation d'équivalence ~ compatible et ouverte est un homéomorphisme local.^{[réf. souhaitée]} (Cf. la « droite réelle avec un point double ».)
• Tout difféomorphisme local d'une variété dans une autre est un homéomorphisme local.

Une propriété topologique est une propriété qui est invariante par homéomorphismes.

Exemples

• Tout difféomorphisme est un homéomorphisme.
• Un cercle et un carré sont homéomorphes (par translation suivie d'une projection centrale).
• La sphère de Riemann privée de son pôle nord est homéomorphe au plan : un homéomorphisme est ici la projection stéréographique.
• Le tore de dimension 1 et le cercle unité (ou tout autre cercle de rayon non nul) sont homéomorphes.
• Un cylindre et un ruban de Möbius ne sont pas homéomorphes.

Références

Voir aussi