Cardinal ineffable

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, un cardinal ineffable est un certain type de grand cardinal, introduit par Jensen & Kunen (1969).

Définitions

Dans les définitions suivantes, ${\displaystyle \kappa }$ sera toujours un cardinal régulier indénombrable.

Un cardinal ${\displaystyle \kappa }$ est dit presque ineffable si pour toute fonction ${\displaystyle f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )}$ (où ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )}$ est l'ensemble des parties de ${\displaystyle \kappa }$) ayant la propriété que ${\displaystyle f(\delta )\subseteq \delta }$ pour tout ${\displaystyle \delta \in \kappa }$, il existe un ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ de cardinalité ${\displaystyle \kappa }$ et homogène pour ${\displaystyle f}$, dans le sens où pour tous ${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$ dans ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}}$.

Un cardinal ${\displaystyle \kappa }$ est dit ineffable si pour chaque fonction ${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$ (où ${\displaystyle [\kappa ]^{2}}$ désigne l'ensemble des paires d'éléments de ${\displaystyle \kappa }$), il existe un sous-ensemble stationnaire de ${\displaystyle \kappa }$ sur lequel ${\displaystyle f}$ est homogène : c'est-à-dire, ou bien ${\displaystyle f}$ envoie toutes les paires d'éléments de ce sous-ensemble sur ${\displaystyle 0}$, ou bien ${\displaystyle f}$ envoie toutes ces paires sur ${\displaystyle 1}$. Une formulation équivalente est qu'un cardinal ${\displaystyle \kappa }$ est ineffable si pour toute suite ${\displaystyle \langle A_{\alpha }:\alpha \in \kappa \rangle }$ telle que ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$ pour tout ${\displaystyle \alpha \in \kappa }$, il existe ${\displaystyle A\subseteq \kappa }$ tel que ${\displaystyle \{\alpha \in \kappa :A\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$ est stationnaire dans ${\displaystyle \kappa }$.

Une autre formulation équivalente est qu'un cardinal régulier indénombrable ${\displaystyle \kappa }$ est ineffable si pour tout ensemble ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )}$ de cardinalité ${\displaystyle \kappa }$, il existe un filtre ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sur ${\displaystyle \kappa }$ non trivial, ${\displaystyle \kappa }$-complet, normal (c'est-à-dire stable par intersection diagonale) et décidant ${\displaystyle S}$ : c'est-à-dire que pour tout ${\displaystyle X\in S}$, ou bien ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ou bien ${\displaystyle \kappa \setminus X\in {\mathcal {F}}}$. Cette formulation est semblable à une caractérisation des cardinaux faiblement compacts (en).

Plus généralement, ${\displaystyle \kappa }$ est dit ${\displaystyle n}$-ineffable (pour un entier positif ${\displaystyle n}$) si pour tout ${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\to \{0,1\}}$, il existe un sous-ensemble stationnaire de ${\displaystyle \kappa }$ sur lequel ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle n}$-homogène (c'est-à-dire que ${\displaystyle f}$ prend la même valeur sur tous les ${\displaystyle n}$-uplets non ordonnés issus du sous-ensemble). Ainsi, un cardinal est ineffable si et seulement s’il est 2-ineffable. L'ineffabilité est strictement plus faible que la 3-ineffabilité.

Un cardinal totalement ineffable est un cardinal qui est ${\displaystyle n}$-ineffable pour tout ${\displaystyle 2\leq n<\aleph _{0}}$. Si ${\displaystyle \kappa }$ est ${\displaystyle (n+1)}$-ineffable, alors l'ensemble des ${\displaystyle n}$-cardinaux ineffables inférieurs à ${\displaystyle \kappa }$ est un sous-ensemble stationnaire de ${\displaystyle \kappa }$.

Chaque cardinal ${\displaystyle n}$-ineffable est ${\displaystyle n}$-presque ineffable (et l'ensemble des cardinaux ${\displaystyle n}$-presque ineffables lui étant inférieurs est stationnaire), et chaque ${\displaystyle n}$-presque ineffable est ${\displaystyle n}$-subtil (en) (et l'ensemble des cardinaux ${\displaystyle n}$-subtils lui étant inférieurs est stationnaire). Le plus petit cardinal ${\displaystyle n}$-subtil n'est même pas faiblement compact (et contrairement aux cardinaux ineffables, le plus petit cardinal ${\displaystyle n}$-presque ineffable est ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$-descriptible (en)), mais les cardinaux ${\displaystyle (n-1)}$-ineffables sont stationnaires en dessous de chaque ${\displaystyle n}$-cardinal subtil.

Un cardinal ${\displaystyle \kappa }$ est complètement ineffable s'il existe un ensemble non-vide ${\displaystyle R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )}$ tel que :

— tout ${\displaystyle A\in R}$ est stationnaire ;

— pour tout ${\displaystyle A\in R}$ et ${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$, il existe ${\displaystyle B\subseteq A}$ homogène pour ${\displaystyle f}$ avec ${\displaystyle B\in R}$.

Utiliser n'importe quel entier ${\displaystyle n\geq 2}$ à la place de ${\displaystyle 2}$ conduirait à une définition équivalente, donc les cardinaux complètement ineffables sont totalement ineffables (et leur existence a une plus grande force de cohérence). Les cardinaux complètement ineffables sont ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$-indescriptibles pour tout n, mais la propriété d'être complètement ineffable est ${\displaystyle \Delta _{1}^{2}}$.

La force de cohérence (en) de l'existence des cardinaux complètement ineffables est inférieure à celle de l'existence des cardinaux 1-itérables (en), qui à son tour est inférieure à celle de l'existence des cardinaux remarquables (en), qui est inférieure à celle de l'existence des cardinaux ω-Erdős (en). Une liste des axiomes de grands cardinaux par force de cohérence est disponible dans la section ci-dessous.

Voir aussi

• Liste des propriétés de grands cardinaux (en)

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ineffable cardinal » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Harvey Friedman, Subtle cardinals and linear orderings, vol. 107, 2001, 1–34 p. (DOI 10.1016/S0168-0072(00)00019-1 )
• Ronald Jensen et Kenneth Kunen, Some Combinatorial Properties of L and V, manuscrit non publié, 1969 (lire en ligne)

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