Deltoïde de Steiner

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La deltoïde de Steiner d'un triangle est une deltoïde définie par le théorème suivant (1856) dû à Jakob Steiner en 1857 (1796-1863) :

Théorème — L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde.

La deltoïde de Steiner d'un triangle : c'est l'enveloppe (en bleu) des droites de Simson (en rouge) du triangle ABC.

La deltoïde de Steiner d'un triangle a les propriétés suivantes :

le centre de la deltoïde de Steiner est celui du cercle d'Euler.
le cercle inscrit à la deltoïde de Steiner est le cercle d'Euler du triangle. Son rayon est donc égal à la moitié du rayon R du cercle circonscrit au triangle.
le cercle circonscrit à la deltoïde de Steiner, appelé premier cercle de Steiner, a pour rayon ${\frac {3R}{2}}$ .
la deltoïde de Steiner est tangente aux trois côtés du triangle, et les points de contact sont symétriques des pieds des hauteurs par rapport aux milieux des côtés.
la deltoïde de Steiner est tangente aux trois hauteurs du triangle, et les points de contact sont symétriques des pieds des hauteurs par rapport aux milieux des segments joignant l'orthocentre aux sommets.
Orientation de la deltoïde de Steiner :
- Les points de rebroussement de la deltoïde de Steiner forment un triangle équilatéral dont les côtés sont parallèles à ceux du triangle de Morley.
- Les deux triangles équilatéraux ont des orientations opposées.
- Le côté B'C' du triangle de Morley situé le plus près du sommet A fait avec le côté BC du triangle de départ un angle égal à ${\frac {({\widehat {C}}-{\widehat {B}})}{3}}$ .

Sources et liens externes

(en) Illustration de la relation entre la deltoïde de Steiner et le triangle de Morley : . En pointant le point jaune sur le cercle circonscrit, on peut le déplacer et faire ainsi varier la droite de Simson correspondante. En pointant un sommet, on peut le déplacer et faire ainsi varier la figure à volonté.
J. Lemaire, Hypocycloïdes et épicycloïdes, avec une préface de Maurice d'Ocagne, Librairie Vuibert, 1929 ; nouveau tirage, Librairie scientifique et technique Albert Blanchard, 1967.
Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, (ISBN 978-2-91-635208-4)
(en) Eric W. Weisstein, « Steiner Circle », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Steiner Deltoid », sur MathWorld

Notes et références

↑ Journal de Crelle, tome 53.

Portail de la géométrie

[1] Journal de Crelle, tome 53.

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron