Champ vectoriel fondamental

En géométrie différentielle, un champ vectoriel fondamental est un certain type de champ vectoriel sur un fibré principal.

Définition

Soient :

Définition

À tout

ξ \in 𝔤

correspond, via

Φ_{*} |_{e} : 𝔤 \to 𝔛 (P)

, un champ vectoriel fondamental sur

P

:

ξ^{∙} := Φ_{*} |_{e} (ξ) \in 𝔛 (P)

.

Remarque

On peut aussi écrire un champ vectoriel fondamental en

a \in P

comme :

ξ^{∙} |_{a} = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Φ_{\exp (t ξ)} (a)

.

Remarque

La distribution verticale

V \subset T P

est engendrée point par point par les champs vectoriels fondamentaux.

Plus précisément, en tout $a \in P$ on a :

V_{a} = ℝ ⟨ ξ^{∙} |_{a} : ξ \in 𝔤 ⟩

.

Remarque

La notion de champ vectoriel fondamental sur un fibré principal se retrouve dans un des axiomes définissant la notion de forme de connexion via

A (ξ^{∙}) = ξ

.

Remarque

Les champs vectoriels fondamentaux satisfont :

[ξ_{1}^{∙}, ξ_{2}^{∙}] = - [ξ_{1}, ξ_{2}]^{∙}, \forall ξ_{1}, ξ_{2} \in 𝔤

;

(Φ_{λ})_{*} (ξ^{∙} |_{a}) = ({A d}_{λ}^{- 1} \circ ξ)^{∙} |_{a \cdot λ}, \forall λ \in G, a \in P, ξ \in 𝔤

.

(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963