Classification des surfaces

En mathématiques, et plus précisément en topologie, la classification des surfaces (ou classification des 2-variétés) est un résultat sur les surfaces « closes » (c'est-à-dire compactes et sans bord). Il indique que toute surface close connexe est homéomorphe à l'un des espaces topologiques suivants :

• une 2-sphère ;
• une somme connexe de ${\displaystyle g>0}$ tores, c'est-à-dire une sphère avec ${\displaystyle g}$ anses (la surface est alors orientable, de genre ${\displaystyle g}$ et de caractéristique d'Euler ${\displaystyle 2-2g}$) ;
• une somme connexe de ${\displaystyle c>0}$ plans projectifs réels, c'est-à-dire une sphère avec ${\displaystyle c}$ cross-caps (la surface est alors non orientable, de genre ${\displaystyle c}$ et de caractéristique d'Euler ${\displaystyle 2-c}$).

• 
  2-sphère (orientable, genre 0).
• 
  Le double tore est la somme connexe de deux tores (orientable, genre 2).
• 
  Sphère à trois anses, également somme connexe de trois tores (orientable, genre 3).
• 
  La surface de Boy est une immersion du plan projectif réel dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (non orientable, genre 1).
• 
  La bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs réels (non orientable, genre 2).

Bibliographie

• (en) Herbert Edelsbrunner et John Harer, Computational Topology: An Introduction, American Mathematical Soc., 2010 (ISBN 978-0-8218-4925-5, lire en ligne), chap. II.1 (« Two-dimensional Manifolds »), p. 32-38

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