Cube de Hilbert

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En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit K=[0,1]ℕ muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.

Pour tout p∈[1,∞[, le cube de Hilbert est homéomorphe au sous-espace suivant de l'espace de suites ℓp, défini par deux éléments quelconques b et c de ℓp tels que ∀n,bn<cn :

{x∈ℓp∣∀nbn≤xn≤cn}.

Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact), séparable et possède la propriété suivante :

Tout espace métrisable et séparable est homéomorphe à un sous-espace de K.

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.

Notes et références

  1. ↑ Pour le cas b=−c, voir Franck Boyer, « Analyse Fonctionnelle, TD 2 (exercices corrigés) », exercice 7.
  2. ↑ et « même » – ce qui, pour un espace métrisable, est en fait équivalent – à base dénombrable.
  3. ↑ « Résultat dû à Urysohn » : François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay, 1985, p. 29.
  4. ↑ On peut remplacer ces deux hypothèses par : régulier et à base dénombrable, puisque tout espace régulier à base dénombrable est métrisable.

Voir aussi

Espace de Cantor