Ensembles disjoints

En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, ${1; 2; 3}$ et ${4; 5; 6}$ sont deux ensembles disjoints.

Explication et généralisation

De manière formelle, deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

A \cap B = \emptyset

.

(Dans le cas contraire, on dit que $A$ et $B$ « se rencontrent ».)

Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.

Plus précisément, soient $I$ un ensemble d'indices, et pour chaque $i \in I$ , un ensemble $A_{i}$ . Alors les ensembles de la famille $(A_{i})_{i \in I}$ sont mutuellement disjoints si

\forall (i, j) \in I^{2} (i \neq j \Rightarrow A_{i} \cap A_{j} = \emptyset)

.

Par exemple, les singletons de la famille $({1}, {2}, {3})$ sont mutuellement disjoints.

Si $(A_{i})_{i \in I}$ est une famille d'ensembles mutuellement disjoints et s'il y a au moins deux indices dans $I$ , alors l'intersection de la famille est vide :

\cap_{i \in I} A_{i} = \emptyset

.

La réciproque est fausse : l'intersection de la famille $({1, 2}, {2, 3}, {3, 4})$ est vide, mais ces trois ensembles ne sont pas mutuellement disjoints.

Une partition d'un ensemble X est une famille de parties non vides de X, disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à X.

Voir aussi

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Disjoint sets » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :
- Britannica
- Den Store Danske Encyklopædi

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