Droite de Michael

La droite de Michael, nommée d'après le mathématicien américain Ernest Michael (en), est un espace topologique particulier. Ce fut le premier exemple d'espace normal dont le produit par un certain espace métrisable n'est pas normal.

Définition

La droite de Michael M = (ℝ, $τ$ _M) est la droite réelle, munie de la topologie $τ$ _M dont chaque ouvert est l'union d'un ouvert usuel de ℝ et d'un ensemble quelconque d'irrationnels.

Dans M, tout irrationnel est un point isolé.
La topologie $τ$ _M est séparée, car plus fine que la topologie usuelle sur ℝ.
Elle est à bases dénombrables de voisinages.
Puisqu'elle a une infinité non dénombrable de points isolés, elle ne vérifie pas la condition de chaîne dénombrable donc elle n'est pas séparable.
La droite de Michael est un espace normal (donc complètement régulier) et même paracompact^,^, donc collectivement normal.
Le produit M×X, où X est l'espace des irrationnels (muni de la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ) n'est pas normal^,^,.
La droite M n'est donc pas métrisable (puisque X l'est et M×X ne l'est pas).
Elle n'est d'ailleurs même pas parfaitement normale car dans M, le fermé ℚ n'est pas un G_δ (puisqu'il n'en est pas un dans ℝ usuel, qui induit la même topologie sur ℚ).
Elle n'est ni localement compacte, ni dénombrablement compacte.
Elle n'est pas de Lindelöf.

Démonstration

Voici deux variantes d'une preuve que M n'est pas de Lindelöf.

Il contient des fermés discrets infinis non dénombrables, par exemple : des fermés de ℝ usuel constitués d'une infinité non dénombrable d'irrationnels (comme le complémentaire de la réunion des intervalles ]r_n – 2^–n, r_n + 2^–n[ ci-dessous).
Soit (r_n) une énumération des rationnels. Le recouvrement ouvert constitué des singletons d'irrationnels et des intervalles ]r_n – 2^–n, r_n + 2^–n[ ne possède pas de sous-recouvrement dénombrable car la mesure de Lebesgue de toute réunion d'une sous-famille dénombrable est majorée par 4.

Ce n'est donc pas un « espace de Michael », c'est-à-dire un espace de Lindelöf dont le produit par l'espace des irrationnels n'est pas normal (l'existence de tels espaces est une question de théorie des ensembles).

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Michael-Gerade » (voir la liste des auteurs).

1 2 (en) E. A. Michael, « The product of a normal space and a metric space need not be normal », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 69,‎ 1963, p. 375-376 (lire en ligne).
↑ (en) Jun-iti Nagata, Modern General Topology, Elsevier, 1985, 3^e éd., 521 p. (ISBN 978-0-08-093379-5, lire en ligne), p. 196-197.
↑ (de) Johann Cigler (de) et Hans-Christian Reichel (de), Topologie : Eine Grundvorlesung, Mannheim, Bibliographisches Institut, coll. « BI-Hochschultaschenbücher » (n^o 121), 1978 (ISBN 978-3-411-00121-7), Aufgabe 38.
↑ Cigler et Reichel 1978, p. 136.
1 2 3 Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Example 71: Discrete Irrational Extension of R.
1 2 3 (en) « Michael Line Basics », sur Dan Ma's Topology Blog, octobre 2012.
↑ Steen et Seebach, Example 85: Michael's Product Topology.
↑ (en) « A Question About The Rational Numbers », sur Dan Ma's Topology Blog, juin 2012.
↑ (en) L. B. Lawrence, « The influence of a small cardinal on the product of a Lindelöf space on the irrationals », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 110,‎ 1990, p. 535-542.

(en) « Michael Line », sur Dan Ma's Topology Blog, novembre 2012