Dynamique des faisceaux de particules chargées

Représentation d'une particule - Espaces des phases

La dynamique des particules peut être décrite soit dans un référentiel galiléen (bonne approximation du référentiel du laboratoire), soit dans un référentiel mobile lié à l'accélérateur.

Représentation dans un référentiel mobile

Un accélérateur de particules est conçu de manière à accélérer une particule de référence (dite particule synchrone) qui se propage sur une trajectoire de référence avec une chronométrie bien précise. Cette trajectoire de référence peut être linéaire (linac), circulaire (synchrotron) ou spirale (cyclotron).

Il est alors courant de choisir comme variable indépendante τ, non pas le temps, mais une abscisse s le long de la trajectoire de référence. L'abscisse associée à une particule correspond au point d'intersection entre la trajectoire de référence et le plan normal à cette trajectoire qui contient la particule.

${\displaystyle \tau =t\to s}$

• En ce qui concerne sa position, la particule peut être repérée par ses 2 coordonnées (x,y) dans un référentiel mobile ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y}\right)}$ contenu dans le plan normal à la trajectoire de référence. Généralement x repère la position dans le plan horizontal (plan de déviation du faisceau dans un accélérateur circulaire), y dans le plan vertical. L'autre coordonnée d'espace étant fixée par s, les particules sont finalement différenciées par leur instant de passage à l'abscisse s (comme une photo finish sur la ligne d'arrivée d'une course). Dans la plupart des accélérateurs utilisant des cavités radio-fréquences de fréquence f, cet instant d'arrivée est normalisé par la multiplication par 2πf. On obtient alors une phase φ qui exprime l'évolution du champ dans les cavités. Il peut alors être pertinent d'utiliser la différence de phase Φ entre la particule et la particule synchrone.

${\displaystyle {\vec {q}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x\\y\\t\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x\\y\\\varphi \end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x\\y\\\phi =\varphi -\varphi _{s}\end{pmatrix}}}$

• En ce qui concerne son déplacement, il est usuel de choisir, pour le plan transverse, les 2 pentes x' et y' que fait la trajectoire de la particule par rapport à la trajectoire de référence. L'intérêt porte sur leurs mesure et interprétation faciles. Pour la troisième composante du déplacement, on peut trouver, pêle-mêle, la quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$ de la particule, sa différence relative de la quantité de mouvement par rapport à celle de la particule synchrone ${\displaystyle {\vec {\delta }}}$, l'énergie cinétique de la particule E ou sa différence d'énergie avec la particule synchrone ΔE.

${\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x'={\frac {p_{x}}{p_{z}}}\\y'={\frac {p_{y}}{p_{z}}}\\p\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\delta ={\frac {p-p_{s}}{p_{s}}}\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x'\\y'\\E\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\Delta E=E-E_{s}\end{pmatrix}}}$

La particule pourra finalement être représentée par un vecteur à 6 composantes dont on exprimera l'évolution en fonction de la variable indépendante τ :

${\displaystyle {\vec {P}}(\tau )={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}}$

Équations du mouvement

Linéarisation - transport matriciel

Dans ce paragraphe, nous introduisons un formalisme propre aux accélérateurs, et nous choisissons délibérément l'abscisse s pour variable indépendante. La justification est donnée par la suite.

Le traitement le plus simple du transport d'une particule pour un faisceau sans diffusion consiste à :

• Utiliser ses coordonnées relatives à la particule synchrone,

${\displaystyle {\vec {P}}\rightarrow {\vec {P}}-{\vec {P}}_{s}}$

• Linéariser la variation de la force de rappel vers la particule synchrone.

${\displaystyle F_{i}({\vec {P}},s)=\sum _{j=1}^{6}k_{i,j}(s)P_{j}}$

On obtient alors les équations d'évolution des composantes :

${\displaystyle {\dfrac {dP_{i}}{ds}}=\sum _{i=1}^{6}k_{i,j}(s)P_{j}}$

On peut alors utiliser le formalisme matriciel pour transporter la particule d'un point s à un point s+ds :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}_{s+ds}={\begin{pmatrix}1+k_{1,1}\,ds&k_{1,2}\,ds&k_{1,3}\,ds&k_{1,4}\,ds&k_{1,5}\,ds&k_{1,6}\,ds\\k_{2,1}\,ds&1+k_{2,2}\,ds&k_{2,3}\,ds&k_{2,4}\,ds&k_{2,5}\,ds&k_{2,6}\,ds\\k_{3,1}\,ds&k_{3,2}\,ds&1+k_{3,3}\,ds&k_{3,4}\,ds&k_{3,5}\,ds&k_{3,6}\,ds\\k_{4,1}\,ds&k_{4,2}\,ds&k_{4,3}\,ds&1+k_{4,4}\,ds&k_{4,5}\,ds&k_{4,6}\,ds\\k_{5,1}\,ds&k_{5,2}\,ds&k_{5,3}\,ds&k_{5,4}\,ds&1+k_{5,5}\,ds&k_{5,6}\,ds\\k_{6,1}\,ds&k_{6,2}\,ds&k_{6,3}\,ds&k_{6,4}\,ds&k_{6,5}\,ds&1+k_{6,6}\,ds\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}_{s}}$

Soit :

${\displaystyle {\vec {P}}(s+ds)=T(s\rightarrow s+ds)\,{\vec {P}}(s)}$

Ce formalisme matriciel peut être utilisé pour aller d'un point s₀ à un point s₁:

${\displaystyle {\vec {P}}(s_{1})=T(s_{0}\rightarrow s_{1})\,{\vec {P}}(s_{0})}$

${\displaystyle T(s_{0}\rightarrow s_{1})}$ est la matrice de transfert entre le point s₀ et le point s₁.

Formellement, elle peut s'obtenir à partir de la multiplication des matrices sur des petits pas ds de s₀ à s₁ (ce qui revient à intégrer pas à pas les équations du transport) :

${\displaystyle T(s_{0}\rightarrow s_{1})=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}T(s_{0}+(i-1)\,{\frac {s_{0}+s_{1}}{n}}\rightarrow s_{0}+i\,{\frac {s_{0}+s_{1}}{n}})}$

Concrètement, l'accélérateur est découpé en une succession d'éléments E_i (cavité accélératrice, électroaimant...) dont on connaît les matrices de transfert T_i.

Le transport de l'entrée de l'élément i à la sortie de l'élément j (ou à l'entrée de l'élément j+1, avec j>i) est alors donné par la matrice de transfert obtenue par le produit:

${\displaystyle T(j+1\leftarrow i)=T_{j}\cdot T_{j-1}\cdots T_{i+1}\cdot T_{i}=\prod _{k=j}^{i}T_{k}}$.

On peut, par cette méthode, transporter les particules, élément après élément, tout le long de l'accélérateur.

C'est justement parce que les éléments sont positionnés tout le long de l'accélérateur que nous avons choisi l'abscisse s comme variable indépendante. L'utilisation du temps comme variable indépendante pose des difficultés car, à un instant t donné, toutes les particules ne sont pas forcément dans le même élément de l'accélérateur. Il faudrait une matrice par particule !

Fonction de distribution

Pour une valeur donnée de la variable indépendante τ, un faisceau de particules est défini par la fonction de distribution à 1 corps des particules qui le constituent. Chaque particule pouvant être représentée par 6 coordonnées (3 de position, 3 de déplacement, modélisé par le vecteur ${\displaystyle {\vec {P}}}$), cette fonction de distribution dépend donc de 6 + 1 variables indépendantes. Elle représente la densité de particules dans l'espace des phases 6D (position-vitesse) pour une valeur donnée de τ :

${\displaystyle f({\vec {P}},\tau )\,d{\vec {P}}}$ donne le nombre de particules dans le petit hyper-volume de l'espace des phases situé entre ${\displaystyle {\vec {P}}}$ et ${\displaystyle {\vec {P}}+d{\vec {P}}}$ à τ.

L'évolution de cette fonction de distribution à travers les champs électromagnétiques de l'accélérateur est solution :

• soit de l'équation de Vlassov, si 2 particules « proches » dans l'espace subissent une variation lisse et continue de la force,
• soit l'équation de Fokker-Planck, si les particules « proches » dans l'espace peuvent subir des forces qui fortement variables (collision). Dans ce cas, les termes de Fokker-Planck modélisent ces interactions par une diffusion continue de la fonction de distribution. Cette diffusion correspond à l'effet de nombreuses petites collisions. Cela peut être le cas, par exemple, des collisions coulombiennes particule-particule, des collisions avec le gaz résiduel, ou de l'émission de rayonnement synchrotron.
• soit l'équation de Boltzmann, si la simple modélisation par une diffusion continue ne suffit pas (par exemple, les collisions aux grands angles).

Le choix de l'équation dépendra de la densité, de l'environnement ou de la durée de vie du faisceau, mais aussi du pas de discrétisation de la fonction de distribution (espace, déplacement et temps ce qui permet de définir la notion de « proche ») lors d'une résolution numérique.

Macro-particules

Le faisceau, constitué de N particules, est sous-échantillonné par un ensemble de n macro-particules (n<N) qui portent une macro-charge plus forte d'un facteur N/n (pour le calcul des champs induits) mais qui subissent la même dynamique que les particules du faisceau (voir ci-avant).

Le transport de ces macro-particules est simulé à l'aide de logiciels. Les propriétés du faisceau et les champs électromagnétiques induits peuvent être calculés à partir de cet échantillon de macro-particules.

NB : Même si on pouvait simuler N particules, cela resterait un modèle statistique car les conditions initiales réelles de chaque particule ne peuvent jamais être mesurées et sont, de toute manière, non reproductibles.

Moments de la distribution

À partir de la distribution des particules, il est possible de calculer, pour τ donnée, la valeur moyenne d'une fonction A des coordonnées de l'espace des phases :

${\displaystyle {\begin{aligned}<A({\vec {P}})>&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A({\vec {P}}_{i}(\tau ))\\\ &={\frac {\iint A({\vec {P}})\cdot \left(f({\vec {P}},\tau )\,d{\vec {P}}\right)}{\iint f({\vec {P}},\tau )\,d{\vec {P}}}}\end{aligned}}}$.

Les 6 coordonnées du centre de gravité du faisceau dans l'espace des phases sont données par les moments d'ordre 1 de la distribution :

${\displaystyle {\bar {P}}_{i}=<P_{i}>}$

Les dimensions quadratiques moyennes du faisceau dans l'espace des phases sont données par les moments d'ordre 2 centrés de la distribution :

${\displaystyle \sigma _{i,i}={\sqrt {<(P_{i}-{\bar {P}}_{i})^{2}>}}}$

Elles correspondent, pour chaque direction de l'espace des phases, à la racine carrée de la moyenne des carrés des distances de toutes les particules au centre de gravité du faisceau. Elles ont la dimension de l'espace des phases. Elles sont d'autant plus grandes que la distribution est étalée dans l'espace des phases. En ce sens, elles donnent une « mesure » de l'étalement de la distribution des particules.

Le faisceau peut être défini par une matrice 6×6, notée σ, donnant l'ensemble des moments d'ordre 2 centrés de la distribution des particules :

${\displaystyle \sigma _{i,j}=<(P_{i}-{\bar {P}}_{i})\cdot (P_{j}-{\bar {P}}_{j})>}$.

Cette matrice est symétrique. On retrouve le carré des dimensions quadratiques moyennes sur sa diagonale. D'un point de vue statistique, il s'agit de la matrice de covariance de la distribution du faisceau. Sa représentation dans le plan ${\displaystyle (x,x')}$ est l'ellipse de phase.

Émittance et acceptance

On définit l'aire ${\displaystyle A(x,x')}$ dans l'espace des phases contenant l'ensemble des points ${\displaystyle \left(x,x'\right)}$ du faisceau. Cette quantité contient la quantité de mouvement totale ${\displaystyle \int {\vec {p}}dq}$ et est conservée d'après le théorème de Liouville.

L'émittance ${\displaystyle \epsilon }$ est cette quantité généralement exprimée en ${\displaystyle \textstyle mm\cdot mrad}$ ou bien, suivant les auteurs, cette quantité divisée par ${\displaystyle \pi }$.

L'acceptance est la valeur de ${\displaystyle \epsilon }$ permettant la propagation du faisceau sans pertes.

On a :

${\displaystyle \int p\mathrm {d} q=m_{0}c\beta \gamma \pi \epsilon =p_{0}c\pi \epsilon }$

où :

• ${\displaystyle m_{0}}$ est la masse au repos de la particule,
• ${\displaystyle p_{0}}$ sa quantité de mouvement initiale,
• ${\displaystyle \beta }$ est la vitesse réduite.

La quantité ${\displaystyle \epsilon _{n}=\beta \gamma \epsilon }$ est l'émittance normalisée, constante.

Faisceau

La trajectoire nominale d'un faisceau de particules chargées sans interaction entre elles ni effet relativiste dans un champ magnétique transverse ${\displaystyle \textstyle B}$ est une trajectoire de rayon de courbure ${\displaystyle \textstyle R=R_{0}+x}$ que l'on suppose lentement variable :

${\displaystyle \textstyle {\frac {dR_{0}}{dz}}<<{\frac {dx}{dz}}<<1}$

On a donc :

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {\frac {d^{2}(R_{0}+x)}{dz^{2}}}{\left(1+{\frac {d(R_{0}+x)}{dz}}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\frac {d^{2}x}{dz^{2}}}{\left(1+{\frac {dx}{dz}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\approx {\frac {d^{2}x}{dz^{2}}}}$

où ${\displaystyle \textstyle R_{0}(z)}$ est le rayon de courbure de la trajectoire nominale dans le champ ${\displaystyle \textstyle B_{0}(z)}$. La loi de Lorentz donne en supposant la vitesse de faisceau inchangée :

${\displaystyle {\frac {1}{R_{0}}}=-{\frac {QB_{0}}{p}}\,,\quad {\frac {1}{R}}=-{\frac {QB}{p}}}$

où ${\displaystyle \textstyle Q}$ est la charge de la particule. Par convention le signe négatif est utilisé de telle manière que ${\displaystyle \textstyle B>0\Rightarrow {\frac {dx}{dz}}<0}$.

Par différence et en linéarisant la variation de champ magnétique :

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dz^{2}}}=-{\frac {Q}{p}}(B-B_{0})\approx -Kx\,,\quad K={\frac {Q}{p}}\left.{\frac {\partial B}{\partial x}}\right|_{0}}$

${\displaystyle \textstyle {\frac {p}{Q}}}$ est la rigidité magnétique et ${\displaystyle \textstyle K(z)}$ est le facteur de focalisation, une fonction de période ${\displaystyle \textstyle L}$ (par exemple tout ou partie de la circonférence d'un cyclotron).

${\displaystyle \textstyle x}$ obéit à une équation de Hill dont la solution est :

${\displaystyle x(z)=Aw(z)\cos \left(\Phi (z)+\delta \right)}$.

où ${\displaystyle \textstyle w(z)}$ est de périodicité ${\displaystyle \textstyle L}$ et on pose ${\displaystyle \textstyle w(z)={\sqrt {\beta (z)}}}$.

L'indépendance des inconnues de l'équation impose :

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dz}}=\beta ^{-1}}$

${\displaystyle \textstyle 2\pi \beta }$ peut être interprété comme la longueur d'onde locale de l'oscillation autour de la position nominale du faisceau. ${\displaystyle \textstyle \beta }$ obéit à l'équation :

${\displaystyle 2\beta {\frac {d^{2}\beta }{dz^{2}}}-\left({\frac {d\beta }{dz}}\right)^{2}+4K\beta ^{2}=4}$

Si l'on impose la périodicité de ${\displaystyle \textstyle \beta }$ à ${\displaystyle \textstyle L}$ il est alors possible d'écrire une matrice de transfert ${\displaystyle \textstyle z_{1}\to z_{2}}$ :

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cos \mu +{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-\gamma &-\alpha \end{pmatrix}}\sin \mu }$

où :

• ${\displaystyle \textstyle \Phi =\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {dz}{\beta (z)}}}$ est l'avance de phase au cours d'une période,
• ${\displaystyle \textstyle \mu }$ est l'avance de phase au cours d'une période,
• ${\displaystyle \textstyle \alpha (s)=-{\frac {1}{2}}{\frac {d\beta }{dz}}}$
• ${\displaystyle \textstyle \gamma (s)={\frac {1+\alpha ^{2}}{\beta }}}$

${\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ sont les paramètres de Courant-Snyders (en) (ou paramètres de Twiss)

Ellipse de phase

De la solution pour x on peut extraire la constante :

${\displaystyle A^{2}=\gamma x^{2}+2\alpha x{\frac {dx}{dz}}+\beta \left({\frac {dx}{dz}}\right)^{2}}$

Il s'agit donc d'un invariant du faisceau assimilable à l'émittance. On remarque que le lien avec les notations utilisées plus haut :

${\displaystyle {\frac {dx}{dz}}={\frac {v_{x}}{v_{z}}}\equiv x'}$

${\displaystyle A^{2}\equiv \epsilon =\gamma x^{2}+2\alpha xx'+\beta x'^{2}}$

Cette équation décrit une ellipse dans l'espace des phases.